02一元二次函数方程与不等式-2021-2022学年高一数学寒假进阶学习方案（人教A版2019）.docxVIP

2一元二次函数方程与不等式

目录

一、典例精析拓思维（名师点拨）

核心问题1同向不等式可加不可减，可乘不可除

核心问题2基本不等式和定与积定

核心问题3基本不等式常数代换

核心问题4含参二次不等式

二、厚积薄发勤演练（题型归类练）

一、典例精析拓思维（名师点拨）

核心问题1同向不等式可加不可减，可乘不可除

例1．（2021·全国·高一课时练习）设，，则的取值范围是______．

错解：由，得

【答案】

【详解】

由，得，

因为，

所以，即，

故答案为：

名师点评：在不等式的性质中，“可加性”，“可乘性”应特别重视，遵循同向不等式可加不可减，可乘不可除。

（1）可加性：。注意：在的条件下，与不能比较大小，即同向不等式可加不可减。

（2）可乘性：。注意在的条件下，，不能比较大小，即同向不等式可乘不可除。

本例中错解直接将范围同向相减造成错解。正确的思路应该是将看成，求解时先根据求出，再将看作一个整体，与的范围同向相加。

例2．（2021·海南·儋州川绵中学高一阶段练习）已知，则的取值范围是__________.

【答案】.

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

则，所以的取值范围是.

故答案为：.

名师点评：本例求解取值范围时，可以看做，分别将，看做整体，分别求出，的取值范围，再根据同向不等式相加的原理求解得出取值范围。

例3．（2021·江西科技学院附属中学高一期中（文））已知，，则的取值范围为__________．

错解：由，得。

【答案】

【详解】

解：因为，所以，因为，

当时，，所以，所以；

当时，；

当时，；

综上可得，即

故答案为：

名师点评：本例错解根据的范围，直接同向相除得出。这是典型的没有理解同向不等式可乘不可除的原理。正确的方式：把看作将看作一个整体，并根据求出，再根据同向不等式可乘性的原理求解；

另：本例在求的范围时，特别提醒同学们由于，其中的范围中有正数，有0，有负数，在与作乘法的时候，注意的正负，故此题需将分为：①，②，③三种情况讨论

变式训练．（2021·福建·福州三中高一阶段练习）已知，则的取值范围为_________

【答案】

【详解】因为，所以，

因为，所以，

所以，

则的取值范围为

故答案为：

例4．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）若实数满足，，则的取值范围为________．

【答案】

【详解】

设，解得，

所以．

又，，，

所以.

故答案为：．

名师点评：本例中由于是有联系的，特别提醒同学们，不能分别求出的取值范围，那样会出错，需要将，分别看作一个整体，综合考虑；本例求解采用待定系数法：即：，也就是将，分别看作了一个整体，利用待定系数求得，，进而确定出的取值范围。

核心问题2基本不等式和定与积定

例1．（2021·全国·高一单元测试）已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值.下面是某位同学的解答过程：

解：因为，所以，根据均值不等式有

其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍），

所以的最小值为，

因此，当时，取得最小值.

该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程.

【答案】有错误；答案见解析.

【详解】

错误原因表述为：不是定值，所以取得最小值不一定在处取得，

或举反例当时，，说明是最小值是错误的都可以.

正确解答为：

因为，所以，

由均值不等式有

其中等号成立当且仅当，解得或（舍），

因此，当时，取得最小值.

名师点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

在本例中，由于和相乘不是定值，故在使用基本不等式时需要凑配出满足积定的条件，所以对进行减3再加3处理，然后把看作一个整体，这样，和相乘是定值，满足使用基本不等式的条件。

变式训练．（2021·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知，求的最小值；

【答案】5；

【详解】

（1）∵，∴4x50，

∴，

当且仅当，即x=时，等号成立，

故当x=时，ymin=5.

例2．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中）设，求函数的最大值．

【答案】（1）.

【详解】

（2）∵，则，

∴，当且仅当时等号成立.

∴的最大值.

名师点评：在本例中，由于和相加不是定值，故在使用基本不等式时需要凑配，将变形成，这样可以凑配成，然后再使用基本不等式。

变式训练．（2021·新疆·吐鲁番市高昌区第二中学高一期中）已知，，且，求的最大值；

【答案】6；.

【详解】