第1章2.1第2课时 圆的标准方程的综合应用.docxVIP

第2课时圆的标准方程的综合应用

1.通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到“圆心在任一弦的中垂线上”这一结论.

2.把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题,充分体现了数形结合以及转化的数学思想,形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.

例1过两点A(1,0),B(2,1),且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=1.?

[解析]连接AB,由题可知,线段AB的中点坐标为32,12,直线AB的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-12=-x-32,即y=-x+2,与y=x联立,可得圆心坐标为(1,1),所以圆的半径为(1-1)2+(

例2已知圆C经过原点O,且其圆心在直线x-y-2=0上,则圆C的半径的最小值为 (B)

A.1 B.2

C.2 D.22

[解析]连接OC,当OC与直线x-y-2=0垂直时,圆C的半径最小,因此,圆C的半径的最小值为点O到直线x-y-2=0的距离,即212+(-1)

例3[2023·江苏泰州高二调研]已知圆C过点A(4,0),B(0,4),且圆心C在直线l:x+y-6=0上.

(1)从点M(4,1)发出的光线经过直线y=-x反射后,反射光线恰好平分圆C的圆周,求反射光线所在直线l1的方程;

(2)若点Q在直线l上运动,求|QA|2+3|QB|2的最小值.

解:(1)由点A(4,0),B(0,4),可得线段AB的中点坐标为(2,2),

直线AB的方程为x4+y4=1,即

可得线段AB的垂直平分线的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=x-2,即y=x.

由x+y-6=0,y=x,得

设点M(4,1)关于直线y=-x的对称点为M1(a,b),

则b-1a-4=1,1+b2

因为反射光线所在直线l1必经过点M1和点C,

所以直线l1的方程为y+43+4=x+13+1,即7x-4y-

(2)设点Q(x0,y0),则x0+y0-6=0.

|QA|2+3|QB|2=(x0-4)2+y02+3x02+3(y0-4)2=(x0-4)2+(6-x0)2+3x02+3(2-x0)2=8(x02-4x0+8)=

所以当x0=2时,|QA|2+3|QB|2取得最小值32.