椭圆方程与性质讲义-2025届高三数学二轮专题复习.docx

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椭圆方程与性质

知识点总结

1.椭圆定义：设F1，F2是平面上的两个定点，若平面内的点P满足PF1

2.椭圆的简单几何性质：

标准方程

x

焦点坐标

F

焦距

F1F

图形

范围

-

对称性

关于x轴、y轴、原点对称

顶点坐标

左、右顶点：A

上、下顶点：B

长轴长

A1A2

短轴长

离心率

3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为_____.

典型例题分析

考向一椭圆定义与应用

[例1]椭圆x29+y22=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=

[变式]已知椭圆C：x24+y23=1

考向二椭圆的标准方程

【例2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（????）

A． B． C． D．

【变式】已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为.

考向三椭圆的离心率问题

【例3】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（????）

??

A． B． C． D．

【变式1】若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为.

【变式2】已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为．

考向四椭圆的焦点三角形问题

【例4】设F1，F2为椭圆x29+y24=

【变式】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1ab

考向五椭圆有关的最值与范围问题

【例5】已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为．

【变式2】如图，点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，．

(1)求椭圆的方程；

(2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围．

【变式1】已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.

椭圆方程与性质

思维导图

知识点总结

内容提要

1.椭圆定义：设F1，F2是平面上的两个定点，若平面内的点P满足PF1

2.椭圆的简单几何性质：

标准方程

x

y

焦点坐标

F

F

焦距

F1F

图形

范围

-

-

对称性

关于x轴、y轴、原点对称

顶点坐标

左、右顶点：A

上、下顶点：B

左、右顶点：B

上、下顶点：A

长轴长

A1A2

短轴长

B1B2

离心率

e

3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为2b

典型例题分析

考向一椭圆定义与应用

【例1】答案：2

解析：椭圆中给出PF1，可由定义求PF

因为PF1+PF

要求∠F1PF2，可先求F

如图，F1

所以cos∠F1

△PF1

由椭圆的对称性，O是PQ中点，而O也是F1F2

从而QF1=

【变式】答案：-2

解析：如图，A在椭圆外，不易直接分析PA-PF1的最小值，可考虑用椭圆定义将PF1换成PF2来看，由题意，PF1+PF2=4，所以PF1=4-PF2，故PA-PF1

考向二椭圆的标准方程

【例2】【答案】B

【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.

【变式】【答案】

【详解】解：圆，圆心为，半径为4，

因为线段的垂直平分线交于点，所以，

所以．

所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．

考向三椭圆的离心率问题

【例3】【答案】C【详解】设，易知，

则，，

又，

所以.故选：C

【变式1】【答案】【详解】由题可得，，

设为坐标原点，则,所以

,即，因为，所以，

若存在四个不同的点满足，又，

所以，即，所以，所以，所以，

【变式2】【答案】/

【详解】??

如图，设的垂直平分线与交于点，

由题，，，，则，，，

，，化简得，，

由，解得，，即.

考向四椭圆的焦点三角形问题

【例4】答案：2或7

解析：焦点三角形问题优先考虑结合椭圆的定义求解，先给出椭圆的a、b、c，由题意，a=3，b=2，c=a2-b2=5，设PF1=m，PF2=n，mn，则m

【变式】答案：5

解析：椭圆C的离心率e=ca

题干的向量关系式可化简，先化简，OF1-OP?

接下来只需结合PF1=2PF2即可分析△

考向五椭圆有关的最值与范围问题

【例5】【答案】【