四川省宜宾中学高三数学 24 二次函数与幂函数学案 新人教A版.doc

24二次函数与幂函数

1二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)

②顶点式：f(x)＝a(xm)2＋n(a≠0)

③零点式：f(x)＝a(xx1)(xx2)(a≠0)

(2)二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

定义域

(∞，＋∞)

(∞，＋∞)

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4acb2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(∞，\f(4acb2,4a)))

单调性

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(∞，\f(b,2a)))上单调递减；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)，＋∞))上单调递增

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(∞，\f(b,2a)))上单调递增；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)，＋∞))上单调递减

对称性

函数的图象关于x＝eq\f(b,2a)对称

2幂函数

(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数

(2)幂函数的图象比较

(3)幂函数的性质比较

函数

特征

性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝

y＝x1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

{x|x∈R且x≠0}

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y∈R且y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

增

x∈[0，＋∞)时，增；

x∈(∞，0]时，减

增

增

x∈(0，＋∞)时，减；

x∈(∞，0)时，减

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4acb2,4a)(×)

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数(×)

(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)(×)

(4)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数(×)

(5)若函数f(x)＝(k21)x2＋2x3在(∞，2)上单调递增，则k＝±eq\f(\r(2),2)(×)

(6)已知f(x)＝x24x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2(×)

1设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a21的图象为下列之一，则a的值为()

Aeq\f(1\r(5),2) Beq\f(1＋\r(5),2)

C1 D1

答案D

解析因为b0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a21＝0，a＝±1，又a0，所以a＝1，故选D

2已知函数y＝x22x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________

答案[1,2]

解析y＝x22x＋3的对称轴为x＝1

当m1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数

∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m22m

∴m＝1与m1矛盾，舍去

当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝122×1＋3＝2，ymax＝f(0)＝3

当m2时，ymax＝f(m)＝m22m

∴m＝0或m＝2，与m2矛盾，舍去

综上所述，1≤m≤2

3若幂函数y＝(m23m＋3)x的图象不经过原点，则实数m的值为________

答案1或2

解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m23m＋3＝1,m2m2≤0))，解得m＝1或2

经检验m＝1或2都适合

4(2024·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是________

答案(eq\f(\r(2),2)，0)

解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?m?0，,f?m＋1?0，))

即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m210，,?m＋1?2＋m?m＋1?10，))解得eq\f(\r(2),2)m0

题型一二次函数的图象和性质

例1已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[4,6]

(1)当a＝2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[4,6]上是单调函数；

(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间

解(1)当a＝2时，f(x)