平行四边形单元-易错题难题同步练习试题.docVIP

平行四边形单元易错题难题同步练习试题

一、解答题

1．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形的对角线与相交于点，，则．

（1）请帮助小明证明这一结论；

（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正和正方形，连结、、.已知，，求的长，请你帮助小明解决这一问题．

2．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．

（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；

（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．

3．如图，在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在如图（1）的边上求作一点，连接，使；

（2）在如图（2）的边上求作一点，连接，使.

4．已知正方形点是射线上一动点(不与重合)．连接并延长交直线于点，交于连接．在上取一点使．

（1）若点在边上，如图1，

①求证：．

②求证：是等腰三角形．

（2）取中点连接．若，正方形边长为，则．

5．如图所示，四边形是正方形，是延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点，且直角顶点在边上滑动(点不与点重合)，另一直角边与的平分线相交于点．

(1)求证:;

(2)如图(1)，当点在边的中点位置时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图(2)，当点在边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时与有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

6．在正方形中，点是边上任意一点，连接过点作于，交于.

如图1，过点作于.求证:；

如图2，点为的中点，连接，试判断存在什么数量关系并说明理由；

如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长.

7．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF平分∠AEC．

(1)如图1，求证：CF⊥EF;

(2)如图2，延长CE、DA交于点K,过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE,求证：CH=FK;

(3)如图3,过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.

8．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．

试探究下列问题：

（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）

（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．

9．如图，中，，连结，是边上一点，连结交于点．

（1）如图1，连结，若，，求的面积；

（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，，过作于点．若，求证：．

10．如图，是边长为3的等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点、重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，交直线于点，连接．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；

（2）当时，求四边形的周长；

（3）四边形能否是菱形？若可为菱形，请求出的长，若不可能为菱形，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）证明见解析；

（2）．

【分析】

（1）由题意根据勾股定理分别表示出进行分析求证即可；

（2）根据题意连接CG、BE，证明△GAB≌△CAE，进而得BG⊥CE，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．

【详解】

解：（1）∵AC⊥BD，

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，

∴；

（2）连接CG、BE，如图2，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

由（1）得，，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=4，BE=5，

∴，

∴GE=．

【点睛