2.5.1直线与圆的位置关系1 人教A版（2019版）高中数学选择性必修一.pptxVIP

2.5.1直线与圆的位置关系

新课引入

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响?

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名称

方程的形式

已知条件

方程直线的局限性

点斜式

y-y=k(x-x)

(x,y₁)是直线上一点，k是斜率

不包括与x轴垂直的直线

斜截式

y=kx+b

k是斜率，b是直线在y轴上的截距

不包括与x轴垂直的直线

两点式

y-y₁_x-x₁

y₂-y₁X₂-x₁

(x₁≠X₂,y₁≠y₂)

(x₁,y₁),(x₂,y₂)是直线上两点

不包括与坐标轴垂直的直线

截距式

a+苦=1

(a,b≠0)

a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距

不包括与坐标轴垂直的直线，不包括过原点的直线。

一般式

Ax+By+C=0

(A、B不同时为零)

A、B、C为常数

任何位置的直线

复习回顾直线方程的五种形式

U

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名称

标准方程

一般方程

方程形式

圆心

半径

点A(

员

点A(x

圆夕

点A(x

圆内

复习回顾

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复习回顾

1两占间距离公式IPP₂F=√

2.平面内一点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离公式是

2

3.两条平行线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0的距离是

当A=0或B=0时，公式仍然成立。

a=^xA+B+c

C₁-C₂

A²+B²

d=

Y2

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直线与圆的位置关系：

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点；

问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?

学习新知

直线与圆的位置关系

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直线l:Ax+By+C=0圆C:(x-a)²+(y-b)²=r²(r0)

(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：

设方程

的解的个数为n

n=0直线与圆相离

n=1直线与圆相切n=2直线与圆相交

直线与圆相离

直线与圆相切直线与圆相交

(2)利用直线与圆的公共点的个数进行判断：

aA+bB+C

√A²+B²

△0

△=0△0

drd=r

dr

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U

d=

断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长

解：x²+y²-2y-4=0x²+(y-1)²=5

几何法圆心(0,1)r=√5设C到直线的距离为d

所以直线l与圆相交有两个公共点

典型例题

例1、如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆x²+y²-2y-4=0,判

由垂径定理，得|AB|=2√r²—d²=√10.

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例1、如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆x²+y²-2y-4=0,判

断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。

解：联立圆和直线的方程得①

代数法

由①得y=-3x+6③代入②得

x²-3x+2=0④

△=(-3)²-4×1×(2)=10

所以方程④有两个不相等的实根x₁=1,x₂=2把x₁,x₂代入方程③得到y₁,y₂

所以直线与圆有两个不同的交点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

典型例题

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U

巩固练习判断直线3x+4y+2=0与圆x²+y²-2x=0的位置关系.

解：x²+y²-2x=0(x-1)²+y²=1

圆心(1,0)r=1

几何法设C到直线的距离为d

所以直线l与圆相切有一个公共点P93练习1

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U

典型例题例2.过点P(2,1)作圆O:x²+y²=1的切线l,求切线的方程

分析：如图，容易知道，点P(2,1)位于圆O:x²+y²=1外，经过圆外

一点有两条直线与这个圆相切，我们设切线方程为y-1=k(x-2),k为

斜率，由直线与圆相切可求出k的值.

解法1:设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即x-y+1-2k=0.

由圆心(0,0)到切线的距离等于圆的半径1,得

因此，所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0.

解法2:设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2).因为直线l与圆相切，所以方程组

只有一组解.

消元，得(k²+1)x²+(2k-4k²)x+4k²-4k=0.

因为方程①只有一个解，所以△=4k²(1-2k)²-16k(k²+1)(k-1)=0,解得k=0或所以