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新高考金卷2025届全国Ⅱ卷模拟卷（一）

数学答案

一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.

1.【答案】A

【解析】由得，则，故答案选A.

2.【答案】A

【解析】因为为等比数列，所以，，因为，所以，所以是的充分条件.当为非零常数列时，恒成立，而不一定成立，所以不是的必要条件.综上，是的充分不必要条件，故答案选A.

3.【答案】D

【解析】因为四边形为平行四边形，所以，，所以，因为，所以，故答案选D.

4.【答案】C

【解析】样本数据的平均数.当时，样本数据的第40百分位数为2，所以，解得，不符题意；当时，样本数据的第40百分位数为，所以，解得，符合题意；当时，样本数据的第40百分位数为3，所以，解得，不符题意.综上，，故答案选C.

5.【答案】B

【解析】记的半焦距为，以双曲线的实轴为直经的圆的方程为，不妨设，在渐近线上且在第一象限，，在渐近线上且在第二象限，联立解得，，根据对称性可得，.所以圆在点点处的切线为，在点处的切线为，两切线交于点，两切线与轴分别交于点和，根据对称性得四边形的面积为，由题有，即，因为，所以，即，所以的离心率为，答案选B.

6.【答案】D

【解析】因为，所以曲线关于直线对称.又因为，所以曲线也关于直线对称.因为曲线与恰有一个交点，所以必有，即，故答案选D.

7.【答案】D

【解析】设直四棱柱的高为，底面的外接圆半径为，则依题意有.设与所成角为，则四边形的面积，则.则直四棱柱的体积，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以当时，取得最大值，所以直四棱柱体积的最大值为，故答案选D.

8.【答案】A

【解析】因为当时，；时，，时，.设，因为在上恒成立，所以当时，，当时，，当时，.当时，在上单调递增，则需要满足，当时，，易得在和上单调递增，在上单调递减，则需要满足.综上，，满足的关系是，所以，当，时取得等号，故答案选A.

二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，部分选对的得部分分，有选错的不得分.

9.【答案】AD

【解析】由题意得.对于A选项，因为，所以是的一个周期，选项A正确；对于B选项，因为，所以点是的一个对称中心，B选项错误；对于C选项，因为，设，则，因为关于在上单调递减，又因为，所以，当时，，故关于在上单调增，根据复合函数单调性，在上单调递减，C选项错误；对于D选项，因为，，所以，又因为当时，取得，故的最小值为，选项D正确.综上，答案选AD.

10.【答案】BCD

【解析】对于A选项，因为的焦点为，所以，解得，选项A错误；对于B选项，由A选项知，，故的方程为，设，因为，所以，则或，从而，因此，选项B正确；对于C选项，设，因为，所以，设，由切线长定理知，则，当且仅当时取得等号，根据余弦函数的单调性知，选项C正确；对于D选项，设，，，则直线的方程为，同理直线的方程为，直线的方程为.因为直线，都与圆相切，所以，，整理得，，所以和是方程的两根，所以，，则直线的方程为，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，选项D正确.综上，答案选BCD.

11.【答案】BCD

【解析】对于A选项，根据面面平行的性质作出截面图形，可知截面可能是四边形，五边形和六边形，但不可能为三角形，选项A错误.对于B选项，当时，截面如图所示，设截面与棱交于点，截面的面积为，则，，，，.设等腰梯形的高为，等腰三角形的底边上的高为，则，，所以，选项B正确；

对于C选项，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量，则，取.若，则，此时，选项C正确；对于D选项，因为正方体的12条棱可以分为三类，因此只需要考虑是否存在与棱，，所成角相等的平面即可.由选项C知，，，，假设存在平面与棱，，所成角相等，设这个角为，则，解得，此时，所以存在，使得正方体的所有棱与所成角的正弦值均为，选项D正确.综上，答案选BCD.

三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.

12.【答案】

【解析】因为为等差数列，且，所以，又因为，所以，，所以使得的最大整数.

13.【答案】

【解析】因为的展开式中含项的系数为，依题意，，解得.设，则，，则其展开式中所有的奇数次幂项的系数之和为，所以答案为.

14.【答案】

【解析】依题意.

令，则，又，，所以在上单调递增.又，，所以存在唯一，使得，且.

所以时，，即，时，，即，

所以在上单调递减，在单调递增，所以在上的最小值为，即，又，所以，所以的值域为.

四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

15.（1）（2）

【解析】（1）因为为的中点，所以，两边平方整