十三课三角函数性质.pdfVIP

第十三三角函数的性质

教学目标：

理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义

域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.

教学重点：

正、余弦函数的性质

教学难点：

正、余弦函数性质的理解与应用

教学过程：

Ⅰ.课题导入

上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些

性质.

(1)定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是，分别记作：

(2)值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜

≤1，即

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是

其中正弦函数y=sinx，x∈R

①当且仅当，k∈Z时，取得最值

②当且仅当，k∈Z时，取得最值

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当，k∈Z时，取得最值.

②当且仅当，k∈Z时，取得最值.

(3)周期性

sin(x+2kπ)=sinx



由(k∈Z)

cos(x+2kπ)=cosx



知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，

都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数

就叫做f(x)的最小正周期.

根据上述定义，可知：

正弦函数、余弦函数都是函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

(4)奇偶性

正弦函数是函数，余弦函数是函数.

(5)单调性

π3π

从y＝sinx，x∈［－，］的图象上可看出：

22

ππ

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.

22

π3π

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.

22

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一

个闭区间上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间