2024年指数函数和对数函数复习有详细知识点和习题详解.doc

一、指数的性质

（一）整数指数幂

1．整数指数幂概念：

2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）

（3）

其中，．

3．的次方根的概念

一般地，假如一种数的次方等于，那么這個数叫做的次方根，

即：若，则叫做的次方根，

例如：27的3次方根，的3次方根，

32的5次方根，的5次方根．

阐明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；

②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根16的4次方根）

③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；

④∴；

⑤式子叫根式，叫根指数，叫被開方数。∴．

．

4．的次方根的性质

一般地，若是奇数，则；

若是偶数，则．

5．例題分析：

例1．求下列各式的值：

（1）（2）（3）（4）解：略。

例2．已知，化简：．

解：當是奇数時，原式

當是偶数時，原式

因此，．

例3．计算：

解：

例4．求值：．

解：

（二）分数指数幂

1．分数指数幂：

即當根式的被開方数能被根指数整除時，根式可以写成分数指数幂的形式；

假如幂的运算性质（2）對分数指数幂也合用，

例如：若，则，，∴．

即當根式的被開方数不能被根指数整除時，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；

（2）正数的负分数指数幂的意义是．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质對于分数指数幂也同样合用

即

阐明：（1）有理数指数幂的运算性质對無理数指数幂同样合用；

（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例題分析：

例1．用分数指数幂的形式表达下列各式：

，，.

解：=；

=；

=．

例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）；（2）；

解（1）

=

=；

（2）==．

例3．计算下列各式：

（1）（2）．

解：（1）==

==；

（2）=．

（三）综合应用

例1．化简：.

解：===.

例2．化简：.

解：．

评述：此題重视了分子、分母指数间的联络，即，由此联想到平方差公式的特點，進而使問題得到处理。

例3．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.

解：（1）

，

∴，

又由得，∴，

因此.

（2）（法一）

，

（法二）

而

∴，

又由得，∴，

因此.

二、指数函数

1．指数函数定义：

一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．

2．指数函数在底数及這两种状况下的图象和性质：

图象

性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）過點，即時

（4）在上是增函数

（4）在上是減函数

例1．求下列函数的定义域、值域：

（1）（2）（3）（4）．

解：（1）∴原函数的定义域是，

令则

∴得，

因此，原函数的值域是．

（2）∴原函数的定义域是，

令则，

在是增函数∴，

因此，原函数的值域是．

（3）原函数的定义域是，

令则，

在是增函数，∴，

因此，原函数的值域是．

（4）原函数的定义域是，

由得，

∴，∴，

因此，原函数的值域是．

阐明：求复合函数的值域通過换元可转换為求简朴函数的值域。

例2．當時，证明函数是奇函数。

证明：由得，，

故函数定义域有关原點對称。

∴

因此，函数是奇函数。

例3．设是实数，，

（1）试证明：對于任意在為增函数；

（2）试确定的值，使為奇函数。

分析：此題虽形式较為复杂，但应严格按照單调性、奇偶性的定义進行证明。還应规定學生注意不一样題型的解答措施。

（1）证明：设，则

，

由于指数函数在上是增函数，且，因此即，

又由，得，，

因此，即．

由于此結论与取值無关，因此對于取任意实数，在為增函数。

评述：上述证明過程中，在對差式正负判断時，运用了指数函数的值域及單调性。

（2）解：若為奇函数，则，

即

变形得：，

解得：，

因此，當時,為奇函数。

三、對数的性质

1．對数定义：一般地，假如（）的次幂等于N,就是，那么数b叫做a為底N的對数，记作，a叫做對数的底数，N叫做真数。

即，

指数式

底数

幂

指数

對数式

對数的底数

真数

對数

阐明：1．在指数式中幂N0，∴在對数式中，真数N0．（负数与零没有對数