2024年无穷级数知识点汇总.docx

無穷级数知识點汇總

一、数项级数

（一）数项级数的基本性质

1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.

2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：對任意給定的正数，總存在使得對于任何两個不小于的正整数m和n，總有.（即部分和数列收敛）

3.收敛级数具有线性性（即收敛级数進行线性运算得到的级数仍然收敛），而一种收敛级数和一种发散级数的和与差必发散.

4.對收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.

5.在一种数项级数内去掉或添上有限项不會影响敛散性.

（二）数项级数的性质及敛散性判断

1.正项级数的敛散性判断措施

（1）正项级数基本定理：假如正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛.

（2）比较鉴别法（放缩法）：若两個正项级数和之间自某项後来成立著关系：存在常数，使，那么

（i）當级数收敛時，级数亦收敛；

（ii）當级数发散時，级数亦发散.

推论：设两個正项级数和，且自某项後来有，那么

（i）當级数收敛時，级数亦收敛；

（ii）當级数发散時，级数亦发散.

（3）比较鉴别法的极限形式（比阶法）：給定两個正项级数和，若，那么這两個级数敛散性相似.（注：可以运用無穷小阶的理论和等价無穷小的内容）

此外，若，则當级数收敛時，级数亦收敛；若，则當级数发散時，级数亦发散.

常用度量：

①等比级数：，當時收敛，當時发散；

②p-级数：，當時收敛，當時发散(時称调和级数)；

③广义p-级数：，當時收敛，當時发散.

④交錯p-级数：，當時绝對收敛，當時条件收敛.

（4）达朗贝尔鉴别法的极限形式（商值法）：對于正项级数，當時级数收敛；當時级数发散；當或時需深入判断.

（5）柯西鉴别法的极限形式（根值法）：對于正项级数，设，那么時此级数必為收敛，時发散，而當時需深入判断.

（6）柯西积分鉴别法：设為正项级数，非负的持续函数在区间上單调下降，且自某项後来成立著关系：，则级数与积分同敛散.

2.任意项级数的理论与性质

（1）绝對收敛与条件收敛：

①绝對收敛级数必為收敛级数，反之否则；

②對于级数，将它的所有正项保留而将负项换為0，构成一种正项级数，其中；将它的所有负项变号而将正项换為0，也构成一种正项级数，其中，那么若级数绝對收敛，则级数和都收敛；若级数条件收敛，则级数和都发散.

③绝對收敛级数的更序级数（将其项重新排列後得到的级数）仍绝對收敛，且其和相似.

④若级数和都绝對收敛，它們的和分别為和，则它們各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝對收敛，且和為.尤其地，在上述条件下，它們的柯西乘积也绝對收敛，且和也為.

注：，這裏.

（2）交錯级数的敛散性判断（莱布尼兹鉴别法）:若交錯级数满足，且單调減少（即），则收敛，其和不超過第一项，且余和的符号与第一项符号相似，余和的值不超過余和第一项的绝對值.

二、函数项级数

（一）幂级数

1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域

（1）柯西-阿达馬定理：幂级数在内绝對收敛，在内发散，其中為幂级数的收敛半径.

（2）阿贝尔第一定理：若幂级数在处收敛，则它必在内绝對收敛；又若在处发散，则它必在也发散.

推论1：若幂级数在处收敛，则它必在内绝對收敛；又若幂级数在处发散，则它必在時发散.

推论2：若幂级数在处条件收敛，则其收敛半径，若又有

，则可以确定此幂级数的收敛域.

（3）收敛域的求法：令解出收敛区间再單独讨论端點处的敛散性，取并集.

2.幂级数的运算性质

（1）幂级数進行加減运算時，收敛域取交集，满足各项相加；進行乘法运算時，有：

，收敛域仍取交集.

（2）幂级数的和函数在收敛域内到处持续，且若幂级数在处收敛，则在内持续；又若幂级数在处收敛，则在内持续.

（3）幂级数的和函数在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变.

3.函数的幂级数展開以及幂级数的求和

（1）常用的幂级数展開：

①，x?(-￥,+￥).

②1+x+x2+···+xn+···=，x?(-1,1).

從而，，.

③，x?(-￥,+￥).

④，x?(-￥,+￥).

⑤，x?(-1,1].

⑥，x?(-1,1).

⑦，x?[-1,1].

⑧，x?[-1,1].

（2）常用的求和經验规律：

①级数符号裏的部分可以提到级数外；

②系数中常数的幂中若具有，可以与的幂合并，如将和合并為；

③對求导可消去分母因式裏的,對积分可消去分子因式裏的；

④系数分母含可考虑的展開，含或等可考虑正余弦函数的展開；

⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通過求导发現這個微分方程并求解.

（二）傅裏叶级数

1.狄利克雷收敛定理（本定理為套话，不需真正验证，条件在命題人手下必然成立）

若认為周期，且在[-l,l]上满足：

①持续或只有有限個第一类间断點；

②只有有限個极值點；

则诱导出的傅裏叶级数在[-l,l]上到处收敛.

2.傅裏叶级数