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令人叫绝的中国古代计算工具，算筹和算盘

何谓算筹？

所谓算筹，其实就是一把刻得很整齐的竹棍，直径约两三个毫米，

长度十来个厘米。除竹制的以外，还有木、铁、玉石、骨、象牙制的

算筹。把算筹装在袋子里或笔筒中随身携带，这就是古人说的算袋或

算子筒。唐代曾经规定，文武官员都必须备有算袋，以提高决策的科

学性。

算筹如何计数

用算筹表示数，有纵式和横式两种方式。在纵式中，纵摆的每根

算筹都代表1，表示6~9时，则上面摆一根横的代表5。横式中则是

横摆的每一根都代表1，其上面纵摆的一根代表5。而且规定，个位和

百位必须用纵式，十位和千位必须用横式，纵横相间，使各位界限分

明，以免发生混乱。算盘中上面的一个子代表5，下面的一个子代表1，

是从算筹延续下来的。计数的十进位制是我国古代文明最重要发明之

一。我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵、横两种方式：

如要表示一个多位数字，即把各位的数字从左到右横列，各位数

的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位数用横式表示，百位、

万位用纵式，千位、十万位用横式．

例如：614用算筹表示出来是；数字有空位时，如86021用算筹

表示出来是，。百位是空位就不放算筹．那么，表示的最小的数是

10340。算筹运算用算筹运算，有一套规则和口诀。中国古人不但可

以用它做加减乘除四则运算，还可以乘方开方，连多元高次方程这样

高深的数学难题都可以解出来，不可不谓之奇迹。

古人乘法/除法皆为从左至右算，乘数在上，被乘数在下，积放在

中间。古人计算用筹不用笔，筹算可以任意改变形态，所以左至右算

根本不麻烦。如算49乘36的步骤，结果是1764。

在《孙子算经》还有分数四则筹算法和筹算开平方法，更早的

《九章算术》给出了最大公约数筹算法、筹算联立一次方程法、筹算

开立方法。如《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，

在它的方程一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中

的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），

图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的

常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，

南朝的祖冲之用筹算调日法得到了圆周率的率355/113，精确到

小数点后7位，保持世界记录1千年之久。北宋贾宪发明了筹算增乘

开立方法，能给百万数量级的大数精确开立方，并被南宋秦九韶推广，

发展出了特定一元四次方程的解法。筹算的巅峰应用则出现在元代，

朱世杰（1249－1314）在《四元玉鉴》中给出了特定四元高次方程组

解法，可用算筹逐次消元化为一元高次方程。

算筹考古

中国的算筹和筹算制度，在春秋战国时期已经比较成熟。《老子》

一书中讲到：善计者不用筹策，表明那时算筹已经很普遍了。《易经》

中八卦的图标为横竖长短不同的横线组成，可能与当时算筹使用有关。

现在考古发掘出的算筹实物，最早是汉代的。1954年考古学家在

湖南长沙左家公山出土战国时代古墓，内藏竹算筹40根，每根长12

厘米。1975年在湖北江陵凤凰山汉墓中发现竹制算筹。1971年考古

学家从陕西千阳县一座出土的西汉古墓中发现一束在一个丝袋内（算

筹袋）保存完好的兽骨算筹，长短不一，最长的13.8厘米，最短的

12.6厘米，截面呈圆形，直径在2-4毫米间。1980年从河北石家庄

出土30根东汉骨算筹，长7.8-8.9厘米，截面方形，边长约0.4厘米。

此外在陕西旬阳汉墓中出土象牙筹27根。1983-1984，湖北江陵张

家山西汉古墓中出土竹算筹。1973年9月，湖北省江陵县凤凰山出土

的十号汉代古木木牍，其中有一片记有当利二月定算，这是文献中最

早出现以筹码代替文字记数例子之一。

出谋划策时，对有关问题必须经过数学计算，计算就要用算筹，

所以，运筹成为出谋划策的代名词。汉高祖刘邦在总结打败项羽原

因时说张良是运筹帷幄之中，决胜千里之外，后来，运筹帷幄成为

一个成语。现代数学中，有一个分科叫运筹学，其名称也来源于古代

筹算。算筹发展为算盘筹算在我国从周代到元代应用了约二千年，对

中国古代数学的发展功不可没，南北朝数学家祖冲之计算圆周率应该

就是用算筹完成的。但算筹也有严重缺点：运算时需要较大的地方摆

算筹，位数越多，问题越难，需要摆的面积越大，用起来不大方便。

另一