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23第2课时双曲线的简单几何性质
一选择题
1已知双曲线与椭圆eq\f(x2,9)+eq\f(y2,25)=1共焦点,它们的离心率之和为eq\f(14,5),双曲线的方程应是()
Aeq\f(x2,12)eq\f(y2,4)=1 Beq\f(x2,4)eq\f(y2,12)=1
Ceq\f(x2,12)+eq\f(y2,4)=1 Deq\f(x2,4)+eq\f(y2,12)=1
[答案]C
[解析]∵椭圆eq\f(x2,9)+eq\f(y2,25)=1的焦点为(0,±4),
离心率e=eq\f(4,5),
∴双曲线的焦点为(0,±4),离心率为eq\f(14,5)eq\f(4,5)=eq\f(10,5)=2,
∴双曲线方程为:eq\f(y2,4)eq\f(x2,12)=1
2焦点为(0,±6)且与双曲线eq\f(x2,2)y2=1有相同渐近线的双曲线方程是()
Aeq\f(x2,12)eq\f(y2,24)=1 Beq\f(y2,12)eq\f(x2,24)=1
Ceq\f(y2,24)eq\f(x2,12)=1 Deq\f(x2,24)eq\f(y2,12)=1
[答案]B
[解析]与双曲线eq\f(x2,2)y2=1有共同渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,2)y2=λ(λ≠0),
又因为双曲线的焦点在y轴上,
∴方程可写为eq\f(y2,λ)eq\f(x2,2λ)=1
又∵双曲线方程的焦点为(0,±6),
∴λ2λ=36∴λ=12
∴双曲线方程为eq\f(y2,12)eq\f(x2,24)=1
3若0ka,则双曲线eq\f(x2,a2k2)eq\f(y2,b2+k2)=1与eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)=1有()
A相同的实轴 B相同的虚轴
C相同的焦点 D相同的渐近线
[答案]C
[解析]∵0ka,∴a2k20
∴c2=(a2k2)+(b2+k2)=a2+b2
4中心在坐标原点,离心率为eq\f(5,3)的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为()
Ay=±eq\f(5,4)x By=±eq\f(4,5)x
Cy=±eq\f(4,3)x Dy=±eq\f(3,4)x
[答案]D
[解析]∵eq\f(c,a)=eq\f(5,3),∴eq\f(c2,a2)=eq\f(a2+b2,a2)=eq\f(25,9),∴eq\f(b2,a2)=eq\f(16,9),
∴eq\f(b,a)=eq\f(4,3),∴eq\f(a,b)=eq\f(3,4)
又∵双曲线的焦点在y轴上,
∴双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(a,b)x,
∴所求双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(3,4)x
5(2024·四川文,8)已知双曲线eq\f(x2,2)eq\f(y2,b2)=1(b0)的左右焦点分别为F1F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(eq\r(3),y0)在该双曲线上,则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))=()
A12B2C0D4
[答案]C
[解析]本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质
由题意得b2=2,∴F1(2,0),F2(2,0),
又点P(eq\r(3),y0)在双曲线上,∴yeq\o\al(2,0)=1,
∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))=(2eq\r(3),y0)·(2eq\r(3),y0)=1+yeq\o\al(2,0)=0,故选C
6双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为()
Aeq\r(3)Beq\f(\r(6),2)Ceq\f(\r(6),3)Deq\f(\r(3),3)
[答案]B
[解析]设双曲线方程为eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)=1(a0,b0)
∵△MF1F2为等腰三角形,∠F1MF2
∴∠MF1F2=30°,∴tan30°=eq\f(b,c)=eq\f(\r(3),3),eq\f(b2,c2)=eq\f(1,3),
eq\f(c2a2,c2)=1(eq\f(a,c))2=eq\f(1,3),(eq\f(c,a))2=eq\f(3,2),∴e=eq\f(\r(6),2)
7已知abc分别为双曲线的实半轴长虚半轴长半焦距,且方程ax2+bx+c=0无实根,则双曲线
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