第3节 基本不等式(原卷版).pdf

第三节基本不等式

第三节基本不等式

▍知识导学▍

1.基本不等式

ab

如果a0,b0,则ab（当且仅当ab时取“”）.通常这个不等式为基本不等式.

2

2.算数平均数与几何平均数

ab

ababab

给定两个正数,,称为,的算术平均值;称为,的几何平均值.

ab

2

基本不等式表明:两个正数的算数平均数不小于他们的几何平均数.

3.基本不等式的推导过程

（1）几何法:

CACa,BCbC

如图,是圆的直径,点是上一点,.过点作垂直于

ABABAB

ACD~DCBCD

的弦,连接,.可证,因而.由于小于或

DEADBDCDab

ab

ab„C

等于圆的半径,用不等式表示为.显然,当且仅当点与圆心重合,

2

即ab时,上述不等式的等号成立.

（2）代数法:

对于实数a,bR,有不等式(ab)20（当且仅当ab时取等号“”）恒成立.

即22,可得22

ab2ab0ab2ab

22

a0b0ab

特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得:ab2ab

ab

即ab2ab（当且仅当ab时取等号“”）

ab

故可得:如果a0,b0,则ab（当且仅当ab时取“”）

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4.利用基本不等式求最值

（）在用基本不等式求函数的最值时,要满足三个条件:一正二定三取等.

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①一正:各项均为正数;（异号不能使用基本不等式,同负号可先转化为同正,再使用基本不等式）

②二定:含变数的各项的和或积必须有一个为定值;

③三取等:含变数的各项均相等,取得最值.

（）积定和最小,和定积最大

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