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微积分的发展历程

微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，在18世纪，微积分进一步深入

发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的

产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。

在数学史上，18世纪可以说是分析研究的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。

1)微积分的发展

无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。

不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的

流数术，他们中的优秀代表有泰勒(B.Taylor)、麦克劳林(C.Maclaurin)、棣莫

弗(A.deMoivre)、斯特林(J.Stirling)等。泰勒(1685_1731)做过英国皇家学会

秘书。他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712

年就已获得的著名定理其中v为独立变量z的增量，和为流数。泰勒假定z随

时间均匀变化，故为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：。

泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的

有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。

泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积

分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。麦克劳林

(1698_1746)是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《流数

论》，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发

严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成

功。《流数论》中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两

个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。

麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了不

列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。与此

相对照，在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃

发展起来。

2)积分技术与椭圆积分

18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的

函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，

积分技术的推进尤为明显。

当18世纪的数学家考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，

因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。例如雅各布?伯努利

在求双纽线（在极坐标下方程为）弧长时，得到弧长积分。在天文学中很重要

的椭圆弧长计算则引导到积分。欧拉在1774年处理弹性问题时也得到积分。所

有这些积分都属于后来所说的“椭圆积分”的范畴，它们既不能用代数函数，也不

能用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般

形式是。勒让德后来将所有的椭圆积分归结为三种基本形式。在18世纪，法尼

亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等还就特殊类型的椭圆积分积累了大量结果。对

椭圆积分的一般研究在19世纪20年代被阿贝尔和雅可比分别独立地从反演的角

度发展为深刻的椭圆函数理论。

3）微积分向多元函数的推广虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概

念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18

世纪的数学家。

1720年，尼古拉.伯努利证明了函数在一定条件下，对x,y求偏导数其结果与求

导顺序无关，即相当于有欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实。在

此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。达朗贝尔在1743年的著

作《动力学》和1747年关于弦振动的研究中，也推进了偏导数演算。不过当时一

般都用同一个记号d表示通常导数与偏导数，专门的偏导数记号、、…到19世