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上海民办张江集团学校八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

一、压轴题

1．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．

（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．

（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．

解析：（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）

【解析】

【分析】

（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；

（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；

（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.

【详解】

证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l

∴∠ACB＝∠ADC

∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE

∴∠CAD＝∠BCE，

∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC

∴△ACD≌△CBE，

∴AD＝CE，CD＝BE，

（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，

由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°

∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，

∵M（1，3）

∴MF＝1，OF＝3

∴MG＝3，NG＝1

∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，

∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，

∴点N的坐标为（4，2），

（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，

对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3

∴P（0，3），

∴OP＝3

由y＝0得x＝1，

∴Q（1，0），OQ＝1，

∵∠QPR＝45°

∴∠PSQ＝45°＝∠QPS

∴PQ＝SQ

∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP

∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1

∴S（4，1），

设直线PR为y＝kx+b，则，解得

∴直线PR为y＝﹣x+3

由y＝0得，x＝6

∴R（6，0）．

【点睛】

本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.

2．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；

（1）如图2，当∠α＝时，，当∠α＝时，DE⊥BC；

（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，

①此时∠α的度数范围是；

②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由；

③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．

解析：（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1与∠2度数的和不变，理由见解析③55°＜α≤60°．

【解析】

【分析】

（1）当∠EDA＝∠B＝40°时，，得出30°＋α＝40°，即可得出结果；当时，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出结果；

（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，当点C在DE边上时，α＋30°＝85°，解得α＝55°，当点C在DF边上时，α＝85°，即可得出结果；

②连接MN，由三角形内角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，则∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形内角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出结论；

③由，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°?∠2），解得∠2≥40°，由三角形内角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，则∠2＝100°?α，得出100°?α≥40°，解得α≤60°，再由当顶点C在△DEF内部时，55°＜α＜85°，即可得出结果．

【详解】

解：（1）∵∠B＝40°，

∴当∠EDA＝∠B＝40°时，，

而∠EDF＝30°，

∴，

解得：α＝10°；

当时，DE⊥AB，

此时∠A+∠EDA＝180°，

，

∴，

解得：α＝100°；

故答案为10°，100°；

（2）①∵∠