专题7二次函数与菱形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（原卷版）.pdfVIP

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题7二次函数与菱形存在性问题

我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是

①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形

是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.

在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.

二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，

势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”

为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的

是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者

抛物线上.

【例1】（2021•山西）综合与探究

2

如图，抛物线y＝x+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，

BC．

（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．

（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．

①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E

的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM

的长．

【例2】（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线

2

y＝x+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四

边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是

否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【例3】（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和

点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求b、c的值；

（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．

①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；

②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求

出m的值．

2

【例4】（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x+bx+c

图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得

以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

2

【例5】（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交

于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC