新定义问题微专题：迫敛思想讲义——2024届高三数学二轮专题复习.docx

新定义问题微专题：迫敛思想

【典型考题】（2021北京卷）设为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：

①，且；

②；

③，．

（1）如果数列前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；

（2）若数列是数列，求；

（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的；如果不存在，说明理由．

解：(1)因为，所以与矛盾

所以数列不可能是数列.

(2)因为，所以，，又因为，所以，即

所以，

又因为，所以；

因为，

所以，

（3）由（2）数列是数列，则当时

因为，且，

所以，且，即

因为，且，

所以，

因为，

所以

故数列是等差数列，首项和公差都是1，所以，所以

令，由性质③可知：

，

由于，

因此数列为数列.即，

所以，；

，，

因此，此时，，满足题意.

【知识点解剖】迫敛定理变量中求定值

【方法提炼】

迫敛定理也称为两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理或三明治定理，是数学分析中的一个重要定理，特别是在判定极限存在性方面。该定理由法国数学家、物理学家拉格朗日于1835年提出。迫敛定理主要描述了在一定条件下，一个函数（或数列）的极限可以通过另外两个函数（或数列）的极限来确定。具体来说，有两种主要形式：

数列形式：如果数列,,满足(1)(2),,则数列的极限存在,且.

函数形式：如果当(或)时,有(1)(2),(或),则(或)

在高等数学中,迫敛定理适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得和的极限来确定的极限。这个定理在初高中数学虽然没有学习,但是该定理体现出来的迫敛思想却渗透在初高中数学学习当中。如“若,则”,这就是不等式两边夹的性质。又如:若恒成立,则。再如：元素，则有.如果是单元素集，就可以确定的值,从而实现由不确定关系转化为确定关系。

在解决某些数学问题时,运用这些迫敛性质逼出某个变量的值或不等式,从而实现由不等向相等,由变量向常量的转化,这是在不等中寻找相等关系的重要途径。实际上，利用正余弦函数的有界性求值就是迫敛思想的应用。

【典型例题】

（一）数列中的应用

1、已知集合，其中，由中的元素构成两个相应集合：，，其中是有序实数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质。试判断和的大小关系，并证明你的结论。

解：，证明如下：

（1）对于，根据定义，，从而。

如果与是中的不同元素，

那么中至少有一个不成立，

从而与中也至少有一个不成立

故与也是的不同元素.

所以中元素的个数不多于中元素的个数，即

（2）对于，根据定义，，从而。

如果与是中的不同元素，

那么中至少有一个不成立，

从而与中也至少有一个不成立

故与也是的不同元素.

所以中元素的个数不多于中元素的个数，即

由（1）（2）可知.

2、已知各项均为正数的两个数列和满足：．

（1）设，求证：数列是等差数列；

（2）设，且是等比数列，求和的值．

解：（1）略

（2）．所以，

从而(*)

设等比数列的公比为，由知下证．

若，则．故当，，与（*）矛盾；

若，则．故当，，与（*）矛盾；

综上：故，所以．

又，所以是以公比为的等比数列，若，

则，于是，又由，得，

所以中至少有两项相同，与矛盾．所以，从而，

所以．

（二）函数中的应用

3、已知函数.(为自然对数的底)

(1)求的最小值；

(2)是否存在常数使得对于任意的正数恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

解：（1）

令得

当时，，时，，

所以函数在处取到最小值

（2）假设存在常数使得对于任意的正数恒成立

由（1）得恒成立，所以当且仅当时取等号

所以，即

所以，所以恒成立

所以对于任意的正数恒成立

所以对于任意的正数恒成立

由恒成立，得

所以代入中检验成立

所以存在常数使得对于任意的正数恒成立

4、已知实数满足，则的值为

解：不等式，

化为，

即，

所以；

设，；

则，

所以时，，单调递增，时，，单调递减，

所以的最大值为；

又，

所以时，，单调递减，时，，单调递增，

所以的最大值为；

所以满足，即；

令，解得，所以．

5、若不等式对恒成立，则

解：当或时，；

时，

当或时；

当时，，

设，则在上单调递减，在上单调递增，

且的图象关于直线对称，

，即，

又，故．

6、已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为．

解：当时，时，

有，，，

欲使，恒成立，则，；

当时，时，

有，，，

欲使，恒成立，则，

；故．

（三）正余弦函数的有界性

7、在中，角的对边分别为，设是的面积，若，则角的值是．

解：中，是的面积，且，

由余弦定理得，

所以，由正弦定理得：

由于，所以，则，

由于，故，．

8、已知，且满足等式．则的最小值为