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未知驱动探索，专注成就专业
数学系常微分方程期末试卷及答案
题目一
考虑常微分方程：
$$\\frac{{dy}}{{dx}}+2xy=x^2$$
1.求该常微分方程的通解。
2.求通过点(0,1)的特解。
3.求满足初值条件ᵆ(0)=2的特解。
解答：
1.首先对方程进行整理得到：
$$\\frac{{dy}}{{dx}}=x^2-2xy$$
这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使
用常数变易法求其通解。
设通解为ᵆ=ᵆ(ᵆ)ᵆ(ᵆ)，代入原方程中，得到：
$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}}+v(x)\\frac{{du}}{{dx}}+
2xu(x)v(x)=x^2-2xu(x)v(x)$$
1
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化简得到：
$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}=x^2$$
将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进
行积分，得到：
$$\\intv(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx=\\intx^2dx$$
对等式两边进行积分得到：
$$\\intv(x)du=\\intx^2dx$$
对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3+C_1$，对左
侧进行积分得到：
$$v(x)u+C_2=\\frac{{1}}{{3}}x^3+C_1$$
其中，ᵆ和ᵆ为积分常数。
12
对方程两边整理得到：
$$u(x)v(x)=\\frac{{1}}{{3}}x^3+C$$
其中ᵆ=ᵆ−ᵆ为常数。
12
由于ᵆ和ᵆ的乘积等于ᵆ，因此通解为：
$$y=\\frac{{1}}{{3}}x^3u(x)+Cu(x)$$
2
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2.要求通过点(0,1)，即ᵆ(0)=1的特解。
将ᵆ=0和ᵆ=1代入通解中，得到：
1=0+ᵆᵆ(0)
由此得到ᵆ=1，特解为：
$$y=\\frac{{1}}{{3}}x^3u(x)+u(x)$$
3.要求满足初值条件ᵆ(0)=2的特解。
将ᵆ=0和ᵆ=2代入通解中，得到：
2=0+ᵆᵆ(0)
由此得到ᵆ=2，特解为：
$$y=\\frac{{1}}{{3}}x^3u(x)+2u(x)$$
题目二
已知常微分方程：
$$\\frac{{dy}}{{dx}}=x^2y+2x$$
1.求该常微分方程的通解。
3
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2.求通过点(1,3)的特解。
3.求满足初值条件ᵆ(2)=4的特解。
解答：
1.首先对方程进行整理得到：
$$\\frac{{dy}}{{dx}}=xy(x+2)$$
这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以
使用分离变量法求其通解。
将方程进行变形得到：
$$\\frac{{dy}}{{y(x+2)}}=xdx$$
对等式两边进行积分得到：
$$\\int\\frac{{dy}}{{y(x+2)}}=\\intxdx$$
对
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