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非均匀采样正弦波形的最小二乘拟合算法

梁志国;朱振宇

【摘要】针对非均匀采样序列提出了一种四参数正弦波形曲线拟合方法.它借助于

频率已知的三参数正弦曲线拟合算法实现,既可以在非均匀采样条件下获得正弦波

采样序列的4个参数拟合值,也可用于均匀采样条件下正弦波形采样序列的曲线参

数拟合.其特点是将幅度、频率、相位和直流分量4个参数的四维非线性最优化问

题转化成频率参数的一维线性有哪些信誉好的足球投注网站和最优化问题.其优点是无需先验初值估计,具有

良好的收敛性、鲁棒性,以及明确的收敛区间.仿真及实验均证明了该方法的有效性

和可行性.该方法可用于解决非均匀采样和均匀采样下正弦波测量序列的参数拟合

问题.

【期刊名称】《计量学报》

【年(卷),期】2014(035)005

【总页数】6页(P494-499)

【关键词】计量学;非均匀采样;正弦波;曲线拟合;参数估计;校准

【作者】梁志国;朱振宇

【作者单位】北京长城计量测试技术研究所计量与校准技术重点实验室,北京

100095;天津大学精密仪器与光电子工程学院,天津300072

【正文语种】中文

【中图分类】TB973

四参数正弦波形最小二乘拟合算法是具有广泛应用价值和前景的基本算法，因而吸

引了众多学者对该问题进行了广泛而深入的研究。这些研究中，多数是针对具有恒

定采样间隔的均匀采样方式进行的，这也是多数数字信号处理理论和方法中的基本

假设和前提［1～13］。然而，伴随着高速宽带信号的测量处理需求，非均匀采样

技术开始出现。例如，以多A／D采样序列合成更高速采样序列的高速采样技术，

以针对周期信号波形的取样示波器的延迟采样技术和随机采样技术等，尽管它们最

终目的都是合成等效的均匀采样序列，但由于技术的不完善等因素，产生了非均匀

采样效应。若仍然按照均匀采样方式进行处理，则将造成时基失真和频谱混叠。多

年以来，有众多研究是专门针对这些非均匀采样导致的时基失真开始的。

另有一类现象，是在均匀采样序列中，由于瞬态干扰或短期粗大误差造成了测量序

列中有部分波形严重失真和错误，以往人们处理的方式是重新测量或直接切除部分

波形。人们也希望找到一种方法，在直接剔除严重错误部分后形成的“非均匀采样”

序列波形仍然能够进行整体有效的参数拟合。若将它们完全按照均匀采样方式处理，

将会造成额外的误差或波形失真，根本无法进行有效的参数拟合与估计。

由于正弦波形四参数拟合是一个对初始值准确度要求较高的非线性迭代过程，因而

以往的四参数正弦波曲线拟合大都要求首先给出距离参数真值足够近的初始估计值，

若初始值估计不够精确，则会导致迭代不收敛，或收敛到局部最优值点上，而非总

体最优值点，其收敛区间大都不够明确。由于均匀采样条件下正弦波形参数的初始

值估计可以有很多方法，如FFT方法、峰值检测法、平均值法等，且足够准确，

因此，以往的四参数正弦波拟合方法主要是针对均匀采样条件下的正弦波形序列，

在非均匀采样序列中，初始值参数估计将面临更大困难，甚至无法进行有效估计，

导致它们很多时候无法适应非均匀采样正弦波序列的最小二乘拟合要求。

本文后续工作，将主要针对上述这些非均匀采样正弦波序列的最小二乘拟合开展研

究，以寻找出一种适合非均匀采样正弦序列波形参数拟合的最小二乘算法。

2.1三参数正弦曲线拟合法［14］

设理想正弦波形为：

式中：E为正弦波形幅度；f为正弦波形频率；φ为正弦波形初始相位角；Q为正

弦波形信号的直流分量值。

数据记录序列为已知时刻t1，t2，…，tn的采集样本y1，y2，…，yn。三参数正

弦曲线拟合过程，即为输入信号的频率f已知，选取或寻找A1、B1、C，使下式

所述残差平方和ε最小：

式中，A为正弦波形幅度E拟合值，f为正弦波形频率值，θ为正弦波形初始相位

角φ拟合值，C为正弦波形信号的直流分量Q拟合值。拟合残差有效值为。由于

这是一种闭合算法，因而收敛是肯定的。

2.2问题讨论

上述三参数正弦曲线拟合过程，是已知信号频率f下进行的。

不失一般性，设给定信号测量序列的数字角频率为w，而不是ω。则，使用10个

周期的正弦波形序列，按上述三参数正弦曲线拟合得如图1所示归一化误差ρ／E

与数字角频率比w／ω关系曲线波形。图2为图1的局部细化。

由于数字角频率与频率存在式（7）所述确定关系，故拟合过程中的数字角频率比

也是拟合过程中的信号频率比，完全可以代表其频率拟合特征。

其中，ω＝2π／1000；E＝100；Q＝0；φ分别取0°、40°、8