一元一次方程常考实际应用（十二大类型）（解析版）.docxVIP

PAGE

PAGE1

一元一次方程常考实际应用（十二大类型）

重难点题型归纳

【题型1：行程问题】

【题型2：工程问题】

【题型3：销售问题】

【题型4：方案问题】

【题型5：比赛积分问题】

【题型6：日历问题】

【题型7：数字问题】

【题型8：几何问题】

【题型9：水费和电费问题】

【题型10：比例分配问题】

【题型11：古代问题】

【题型12：其他问题】

【题型1：行程问题】

【典例1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为?6，点B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离”为24个长度单位，动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，则：

(1)动点P从点A运动至点C需要______秒，动点Q从点C运动至点A需要_______秒；

(2)若P，Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数；

(3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的的“折线距离”相等．

【答案】(1)19，17；

(2)t=9.6；点M在折线数轴上所表示的数是7.2

(3)当t=2秒或5秒或8秒或17秒时，OP=BQ

【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．

（1）利用路程除以速度求解即可得到答案；

（2）先判断相遇点M在OB上，再根据题意列方程求解即可；

（3）分四种情况讨论：①当点P在AO上，点Q在CB上时；②当点P在OA上时，点Q在OB上时；③当点P在OB上时，点Q在OB上时；④当点P在BC上时，点Q在OA上时，再列方程求解即可．

【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要0??6

从点O运动至点B需要10÷2=5秒，

从点B运动至点C需要18?10÷1=8

则动点P从点A运动至点C需要6+5+8=19秒；

动点Q从点C运动至点B需要18?10÷2=4

从点B运动至点O需要10÷1=10秒，

从点O运动至点A需要0??6

则动点Q从点C运动至点A需要4+10+3=17秒；

故答案为：19，17；

（2）解：由（1）可得相遇点M在OB上，

∴由题意得6+2t?6

解得t=9.6，

∴2t?6=7.2，即点M在折线数轴上所表示的数是

（3）解：①当点P在AO上，点Q在CB上时，OP=6?t，BQ=8?2t，

∵OP=BQ，

∴6?t=8?2t，

解得t=2；

②当点P在OA上时，点Q在OB上时，OP=6?t，BQ=t?4，

∵OP=BQ，

∴6?t=t?4，

解得t=5；

③当点P在OB上时，点Q在OB上时，OP=2t?6，BQ=t?4

∵OP=BQ，

∴2t?6

解得t=8；

④当点P在BC上时，点Q在OA上时，OP=10+t?11，BQ=10+2

∵OP=BQ，

∴10+t?11

解得t=17；

综上：当t=2秒或5秒或8秒或17秒时OP=BQ．

【变式1-1】甲站和乙站相距1500km，一列慢车从甲站开出，速度为60km/

(1)若两车相向而行，慢车先开30min，快车开出多少小时后两车相遇？

(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km？

(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km（快车在慢车的后面）？

【答案】(1)快车开出9.8h后两车相遇

(2)2h后两车相距1800km

(3)10h后两车相距1200km

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键．

（1）设快车开出xh后两车相遇，根据两车行驶路程和为1500

（2）设yh后两车相距1800km，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为1800km

（3）设zh后两车相距1200km，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多1500?1200=300

【详解】（1）解：设快车开出xh

30min

由题意，得60(x+0.5)+90x=1500，

解得x=9.8．

答：快车开出9.8h后两车相遇．

（2）解：设yh后两车相距1800km

由题意，得60y+90y+1500=1800，

解得y=2．

答：2h后两车相距1800km．

（3）解：设zh后两车相距1200km

由题意，得90z?60x=1500?1200，

解得z=10．