2024高中数学 23数学归纳法应用中的四个常见错误总结 新人教A版选修22 .doc

数学归纳法应用中的四个常见错误总结

数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清现举例如下：

初始值估计的错误归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关键之处通常是1，但不总是1有些同学思维定势，认为是1，而不能具体问题具体分析

例1用数学归纳法证明“＞+1对于n＞的正整数n成立”时，第一步证明中的起始值应取（）

A1B2C3D5

【答案】选D

例2若f(n)=,则n=1时f(n)是

A1BCD以上答案均不正确

【答案】选C

点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项即其前面的项组成

对项数估算的错误

用数学归纳法证明恒等式时，由n=k递推到n=k+1时，左端增加的项有时是一项有时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化举例如下：

例3用数学归纳法证明不等式＜n（n∈）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（）

A1B1CD+1

解析：当n=k时，左端=

当n=k+1，左端=

括号内的部分是增加的式子，计算可知共项

点评：这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过n=k和n=k+1左端进行对比，就不会发生错误了

【答案】选C

例4用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=﹒1﹒3…(2n1)(n∈N)时，从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是??????????????（）

解析：当n=k时，=

当n=k+1时，=

通过对比可知，增加了两项（2k+1）（2k+2）减少了一项k+1故答案选D

点评：通过对比n=k和n=k+1时的变化确定增减项因为每一项中都有n，项数会有增有减

（3）没有利用归纳递推

数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的基础，归纳递推是递推的依据，二者是一个整体，不能割裂开来就像多米诺骨牌游戏，第一块不到，后面的块肯定不到，中间的任意一块不到，游戏也不能继续，环环相扣

例5用数学归纳法证明的过程如下：

①当n=1时，左边=1，右边==1，等式成立

②假设当n=k时，等式成立，即

则当n=k+1时，

所以，当n=k+1时等式成立

由此可知，对任何，等式都成立上述证明的错误是

【答案】没有用上归纳递推

正确的解法是②，即用上了第二步中的假设

点评：步骤不完整是常犯的错误，除忘记用归纳递推外，有时还忘记第一步——起始值的确定，或忘记归纳结论，所以一定牢记“两个步骤一个结论”

（4）关键步骤含糊不清

用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n=k+1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”但中间的计算过程必须有，不能省略也不能含糊不清这一步是数学归纳法的精华所在，阅卷老师关注的重要环节例题略