2024高中数学 23数学归纳法练习 新人教A版选修22 .doc

2024高中数学23数学归纳法练习新人教A版选修22

一选择题

1用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n1)n(n∈N*，n1)时，第一步应验证不等式()

A1＋eq\f(1,2)2 B1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2

C1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3 D1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜3

[答案]B

[解析]∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为eq\f(1,221)＝eq\f(1,3)，故选B

2(2024·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1an＋2,1a)(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()

A1 B1＋a＋a2

C1＋a D1＋a＋a2＋a3

[答案]B

[解析]因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2故应选B

3设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)f(n)等于()

Aeq\f(1,2n＋1) Beq\f(1,2n＋2)

Ceq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) Deq\f(1,2n＋1)eq\f(1,2n＋2)

[答案]D

[解析]f(n＋1)f(n)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,?n＋1?＋1)＋\f(1,?n＋1?＋2)＋…＋\f(1,2n)＋\f(1,2n＋1)＋\f(1,2?n＋1?)))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2?n＋1?)eq\f(1,n＋1)

＝eq\f(1,2n＋1)eq\f(1,2n＋2)

4某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()

A当n＝6时该命题不成立 B当n＝6时该命题成立

C当n＝4时该命题不成立 D当n＝4时该命题成立

[答案]C

[解析]原命题正确，则逆否命题正确故应选C

5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()

A假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立

B假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立

C假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立

D假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立

[答案]C

[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1故应选C

6凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()

Af(n)＋n＋1 Bf(n)＋n

Cf(n)＋n1 Df(n)＋n2

[答案]C

[解析]增加一个顶点，就增加n＋13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋13＝f(n)＋n1故应选C

二填空题

7(2024·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为()

A2k＋1 B2(2k＋1)

Ceq\f(2k＋1,k＋1) Deq\f(2k＋3,k＋1)

[答案]B

[解析]n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k1)，

n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k1)(2k＋1)左边需增乘2(2k＋1)，故选B

8已知数列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…，eq\f(1,n?n＋1?)，通过计算得S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，由此可猜测Sn＝________

[答案]eq\f(n,n＋1)

[解析]解法1：通过计算易得答案

解法2：Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n?n＋1?)

＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(1,2)))＋eq\b\