【全程复习方略】20242024学年高中数学 32简单的三角恒等变换（二）课时提升卷 新人教A版必修4 .doc

简单的三角恒等变换(二)

（45分钟100分）

一选择题(每小题6分，共30分)

1tan15°+cos15°

A1 B2 C4 D6

2(2024·济宁高一检测)f(x)=co

Ax=π2 Bx=π4 Cx=π

3已知tanα2=3，则cosα

A45 B45 C35

4(2024·湖北高考)将函数y=3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()

Aπ12 Bπ6 Cπ

5若cos2θ+cosθ=0，则sin2θ+sinθ的值等于()

A0 B±3

C0或3 D0或3或3

二填空题(每小题8分，共24分)

6设α为第四象限角，且sin3αsinα=135，则tan2

7(2024·梅州高一检测)函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间π4,

8已知cos2x=13，x∈π2

三解答题(9题～10题各14分，题18分)

9化简：(1+sinx+cosx)sinx2-cos

10如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中yx0

(1)将十字形面积表示为θ的函数

(2)当tanθ取何值时，十字形的面积S最大？最大面积是多少？

(能力挑战题)已知函数f(x)=4cosxsinx+

(1)求f(x)的最小正周期

(2)求f(x)在区间-π

答案解析

1【解析】选C原式=sin15°cos15°

=s

=1sin15°cos15°=22sin15°cos15°=

2【解析】选Af(x)=cos2x-sin2x2

3【解析】选Btanα2=3，故tan2α2=sin2α

4【解析】选By=232cosx+1

当m=π6时，y=2sinx

5【解析】选D由cos2θ+cosθ=0得2cos2θ1+cosθ=0，所以cosθ=1或1

当cosθ=1时，有sinθ=0；

当cosθ=12时，有sinθ=±

于是sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0或3或3

【误区警示】本题主要考查三角函数的基本运算同角三角函数关系式以及倍角公式解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误

6【解析】sin3αsinα=sin

=2cos2α+1=135

所以cos2α=45，又α是第四象限角，

所以sin2α=35，tan2α=

答案：3

7【解题指南】利用倍角公式降幂，转化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式，由x∈π4,π2

【解析】f(x)=1-cos2x2+

=12+sin2

当x∈π4,π2时，2x

sin2x-π6∈12,1，

答案：3

8【解析】因为x∈π2

则2x∈(π，2π)，又cos2x=13，

所以sin2x=22

sin4x=2sin2xcos2x=2×-223×

答案：4

9【解析】原式=

1

=2

=2

=cos

=-cos

因为180°x360°，cosx2

所以原式=-cos

10【解析】(1)由题意，x=cosθ，y=sinθ，面积S=2xyx2=2sinθcosθ

cos2θ，θ∈π4

(2)由(1)知，

S=2sinθcosθcos2θ=2sinθcosθ-co

=2tanθ-1

设2tanθ1=t，θ∈π4

则S=4tt2+2t+5=4t+2+5

即tanθ=5+12

【变式备选】有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，如图，求这个内接矩形的最大面积

【解析】设∠FOA=θ，则FG=Rsinθ，OG=Rcosθ，

在△EOH中，tan60°=EH

又EH=FG，

所以OH=Rsinθ3，HG=Rcosθ

又设矩形EFGH的面积为S，那么S=HG·FG

=Rcosθ-Rsinθ3

=R23(3sinθcosθsin2

=R2

又因为0°θ60°，

故当θ=30°时，S取得最大值36R

【解析】(1)f(x)=4cosxsinx+

=4cosx·32

=3sin2x+2cos2x1

=3sin2x+cos2x

=2sin2x+

所以f(x)的最小正周期为π

(2)因为π6≤x≤π4，所以π6≤2x+π

所以当2x+π6=π2，即x=

当2x+π6=π6，即x=

【拓展提升】三角函数求值域的方法

(1)利用单调性，结合函数图象求值域，如转化为y=Asin(ωx+φ)+b型的值域问题

(2)将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，如转化为y=asin2x+bsinx+c型的值域问题

(3)利用sinx，cosx的有界性求值域，通常在定义域为R的情况下应用有时在隐含条件中产生一些限制条件，影响值域

(4)分离常数法，常用于分式形式的函数

(5)换元法，