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二倍角的三角函数(二)
一选择题(每小题3分,共18分)
1(2024·南阳高一检测)若cosα=45,α是第三象限角,则cosα
A1010 B±1010 C31010
【解析】选B因为cosα=45
所以2cos2α21=
因为α为第三象限角,
则α2
故cos2α2=110,cosα2
【变式训练】已知cosα2=13,540°α720°,则sin
A33 B63 C33
【解题指南】先定α4
【解析】选A因为540°α720°,
所以270°α2360°
135°α4180°,所以sinα4=1
2(2024·汉中高一检测)下列各式中,值为12
Asin15°cos15° Bcos2π6sin2
Ctan30°1-tan2
【解析】选BA中,原式=12sin30°=1
B中,原式=cosπ3=1
C中,原式=12×2tan30°1-tan230°
D中,原式=cos30°=3
3设3πα5π2,化简
Asinα2 Bcosα2 Ccosα2
【解析】选C因为3πα5π2,所以32πα2
1-cos(α-π)2=cosα2=cos
4已知α为锐角,且sinα∶sinα2=3∶2,则tanα
A74 B53 C73
【解析】选Csinαsinα2=2sin
所以cosα2=34,因为
所以sinα2=1-9
所以tanα2=sinα
【误区警示】本题在求解过程中,容易在sinα∶sinα2=3∶2的化简上出现问题,不知道入手点是什么,其中的关键是对于这个已知的形式转化不够灵活
5(2024·南昌高一检测)若cosα=45,α是第三象限的角,则1
A12 B12 C2
【解题指南】利用tanα2=sin
【解析】选A由cosα=45,α
可得sinα=35
因为tanα2=sinα1+cosα
所以1+tanα21-tan
6(2024·蚌埠高一检测)函数y=12sin2x+sin2
A-
B-
C-
D-
【解析】选C因为y=12sin2x+sin2x=12sin2x+1-cos2x2=12
所以值域为-
二填空题(每小题4分,共12分)
7若π2απ,且cosα=a,则cosα2=
【解析】因为cosα=2cos2α2
所以cos2α2=1
又因为π2απ,所以π4α2
所以cosα2=1+cosα
答案:1
8(2024·黄山高一检测)设25sin2x+sinx24=0,x是第二象限角,则cosx2的值为
【解析】因为25sin2x+sinx24=0,
所以sinx=2425
又因为x是第二象限角,
所以sinx=2425,cosx=
又x2
从而cosx2=±1+cosx2=±1
答案:±3
9(2024·西安高一检测)函数y=cos2x-π12+sin2
【解析】y=cos2x-π12+sin2
=1+cos2x-π
=1
=12cos2xcosπ6+sin2xsinπ6cos2xcos
sin2xsinπ6=12
所以其最小正周期T=2π2
答案:π
三解答题(每小题10分,共20分)
10(2024·渭南高一检测)已知函数y=4cos2x43sinxcosx1(x∈R)
(1)求出函数的最小正周期
(2)求出函数的最大值及其相对应的x值
【解析】y=4cos2x43sinxcosx1
=4×1+cos2x24
=2cos2x23sin2x+1
=412cos2x-3
(1)最小正周期T=π
(2)当cos2x+π3
此时2x+π3=2kπ,x=kππ6(k
(2024·合肥高一检测)已知f(x)=2sin13xπ6,x∈R
(1)求f5π4的值
(2)设α,β∈0,π2,f3α+π2=1013,f(3β+2π)=65,求cosα+β
【解析】(1)f5π4=2sin5π12π6=2sinπ4=
(2)f3α+π2=2sinα=1013,
所以sinα=513,α∈0,π2,所以cosα=1213
f3β+2π=2sinβ+π2=2cosβ=65,
所以cosβ=35,β∈0,π2,所以sinβ=45
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ=1213×35513×
α,β∈0,π2,所以α+β∈[0,π],则α+β2∈0
所以cosα+β2
一选择题(每小题4分,共16分)
1(2024·宝鸡高一检测)已知θ2是第四象限角,且cosθ2=1+x
()
A21+xx
C2-1-xx
【解析】选Cθ2是第四象限角,由cosθ2=1+xx,则sinθ2=-1x,所以sin
2(2024·榆林高一检测)已知3π2απ,则1
()
Asinα2 Bcos
Csinα2 Dcos
【解析】选A原式=12+
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