【学案导学设计】20242024学年高中数学 222 用样本的数字特征估计总体的数字特征（2）学案 新人教A版必修3.doc

222用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)

【明目标知重点】

1理解样本数据标准差的意义，会计算样本平均数和标准差

2体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征(平均数标准差)估计总体的基本数字特征

【填要点记疑点】

1标准差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示s＝eq\r(\f(1,n)[?x1\x\to(x)?2＋?x2\x\to(x)?2＋…＋?xn\x\to(x)?2])

2方差

标准差的平方s2叫做方差

s2＝eq\f(1,n)[(x1eq\x\to(x))2＋(x2eq\x\to(x))2＋…＋(xneq\x\to(x))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样本平均数)

【探要点究所然】

探究点一标准差

问题平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？

思考1甲乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？

答经计算得：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得eq\x\to(x)乙＝7

思考2观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？

答直观上看，还是有差异的如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中

思考3对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其它方法来说明两组数据的分散程度？

答还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度甲的环数极差＝104＝6，乙的环数极差＝95＝4它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略

思考4如何用数字去刻画这种分散程度呢？

答考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示

思考5所谓“平均距离”，其含义如何理解？

答假设样本数据是x1，x2，…，xn，eq\x\to(x)表示这组数据的平均数xi到eq\x\to(x)的距离是|xieq\x\to(x)|(i＝1,2，…，n)于是，样本数据是x1，x2，…，xn到eq\x\to(x)的“平均距离”是

S＝eq\f(|x1\x\to(x)|＋|x2\x\to(x)|＋…＋|xn\x\to(x)|,n)由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差：

s＝eq\r(\f(1,n)[?x1\x\to(x)?2＋?x2\x\to(x)?2＋…＋?xn\x\to(x)?2])

思考6标准差的取值范围如何？若s＝0表示怎样的意义？

答从标准差的定义可以看出，标准差s≥0，当s＝0时，意味着所有的样本数据等于样本平均数

探究点二方差

思考1方差的概念是怎样定义的？

答人们有时用标准差的平方s2—方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具，方差：s2＝eq\f(1,n)·[(x1eq\x\to(x))2＋(x2eq\x\to(x))2＋…＋(xneq\x\to(x))2]

思考2对于一个容量为2的样本：x1，x2(x1＜x2)，它们的平均数和标准差如果分别用eq\x\to(x)和a表示，那么eq\x\to(x)和a分别等于什么？

答eq\x\to(x)＝eq\f(1,2)(x1＋x2)，a＝eq\f(1,2)(x2x1)

思考3在数轴上，eq\x\to(x)和a有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？

答eq\x\to(x)和a的几何意义如下图所示说明了标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围

思考4现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的如何求得总体的平均数和标准差呢？

答通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的

例1求出问题中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明他们的成绩谁比较稳定？

解eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得eq\x\