上海市普陀区2024届高三数学4月质量调研（二模）试题 理.doc

2024学年第二学期普陀区高三理科数学质量调研卷

一填空题（本大题共56分）

1不等式的解集为。

2若（为虚数单位）则实数。

3若函数的最小正周期为，则。

4集合，则。

5若，则函数的单调递增区间为。

6如图，若，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为。

7函数，若函数是偶函数，则。

8一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为。

9已知直线和曲线的极坐标方程分别为和，若与相交于AB两点，则。

10如图，机车甲乙停在AB处，且。甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的倍，甲沿北偏东的方向移动，乙沿正北方向移动。若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米。

一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色。从袋中随机地抽取3个小球，其中取到黑球的个数为，则（结果用最简分数作答）。

12若正方形ABCD的边长为1，且，则。

13已知复数满足。若，则在复平面上对应的点组成的图形的面积为。

14，用记号表示不小于实数的最小整数，例如，若函数的零点分别为，则。

二选择题（满分20分）

15表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）

A若，则B若，则

C若，则D若，则

16“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）

A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件

17在的展开式中，若第5项的系数与第3项的系数之比为，则展开式中的常数项是（）

A第2项B第3项C第4项D第5项

18已知均为正整数，记为矩阵中第行第列的元素，且（其中）给出结论：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)；eq\o\ac(○,4)若为常数，正确命题的个数为（）

A0B1C2D3

三解答题（本大题满分74分）

19（12分）已知函数。

（1）若直线是函数图象的一条对称轴，求的值；

（2）若，求的值域。

20（14分，第1小题6分，第2小题8分）在正方体中，E是棱的中点。

（1）求直线BE与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）在棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，指明点F的位置；若不存在，说明理由。

21（14分第1小题6分，第2小题8分）已知函数的反函数为。

（1）若，求实数的值；

（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围。

22（16分第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）

如图，射线OAOB所在的直线的方向向量分别是，点P在内，于M，于N。

（1）若，求的值；

（2）若的面积为，求的值；

（3）已知为常数，MN的中点为T，且，当P变化时，求动点T的轨迹方程。

23（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列的前n项和为，且。

（1）若，求数列的前n项和；

（2）若，求证：数列为等比数列，并求出其通项公式；

（3）记，若对任意的恒成立，求实数的取值范围。