第1章2.1第1课时 圆的标准方程.docxVIP

§2圆与圆的方程

2.1圆的标准方程

第1课时圆的标准方程

1.圆的标准方程的理解

(1)圆的标准方程是利用圆的定义与两点间的距离公式推导出来的.

(2)圆的标准方程可用来解决以下两类问题:①已知圆心和半径求圆的方程的问题;②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题.

2.点与圆的位置关系的理解

(1)判断点与圆的位置关系,可根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系进行判断.

(2)在实际解题中,已知点(x0,y0),圆的圆心为(a,b),半径为r,一般先计算d2=(x0-a)2+(y0-b)2,然后比较d2与r2的大小.

例1圆心为(2,1)且过点(3,2)的圆的标准方程为 (B)

A.(x-2)2+(y-1)2=4

B.(x-2)2+(y-1)2=2

C.(x+2)2+(y+1)2=4

D.(x+2)2+(y+1)2=2

[解析]∵圆心为(2,1),且圆过点(3,2),∴圆的半径为(2-3)2+(1-2)2=2,∴圆的标准方程是(x-2)

例2已知在平面直角坐标系中有A(4,6),B(-2,-2),C(1,7),D(6,2)四点,这四点是否在同一个圆上?若在,则判断点E(1,-3)是否与这四点共圆;若不在,请说明理由.

解:设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),

则(4-

所以经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-2)2=25.

把点D的坐标(6,2)代入圆的标准方程,等式成立,

故A(4,6),B(-2,-2),C(1,7),D(6,2)这四点在同一个圆(x-1)2+(y-2)2=25上.

把点E的坐标(1,-3)代入圆的标准方程,等式成立,故点E(1,-3)与这四点共圆.

例3已知圆M:x2+(y+1)2=3,点P(a,b)是圆M上的动点,则 (D)

A.a+b的最大值为6+1

B.a(b+1)的最大值为3

C.a2+b2的最小值为3-1

D.b+1a

[解析]由圆M:x2+(y+1)2=3,得M(0,-1),半径r=3,因为点P(a,b)是圆M上的动点,所以a2+(b+1)2=3.对于A,令z=a+b,则b=-a+z,故问题转化为直线l:y=-x+z与圆M有公共点时,求直线l在y轴上的截距的最大值.如图,易知当直线l与圆M相切于点N时,l在y轴上的截距最大,连接MN,则MN⊥FN,因为直线l的斜率为-1,所以直线l的倾斜角为34π,故∠MFN=π4,则在Rt△FMN中,|FM|=2|MN|=2r=6,故|FO|=|FM|-|OM|=6-1,即l在y轴上的截距的最大值为6-1,故a+b的最大值为6-1,故A

对于B,因为a2+(b+1)2=3,所以2a(b+1)≤a2+(b+1)2=3,即a(b+1)≤32,当且仅当a=b+1=62时,等号成立,故a(b+1)的最大值为32,故B错误.对于C,将a2+b2看作是原点O(0,0)到圆M上的点的距离d的平方,因为|OM|=1,所以dmin=r-|OM|=3-1,故(a2+b2)min=dmin2=(3-1)2=4-23,故C错误.对于D,将b+1a-2看作是点Q(2,-1)与圆M上的点的连线m的斜率k,则直线m的方程为y+1=k(x-2),即kx-2k-y-1=0,由题意可知,圆心M到直线m的距离d≤r,即|0-2k+1-1|k2+1≤3,解得-3≤k