第9节 专题：三角形四心的向量表示(原卷版).pdf

第九节专题:三角形四心的向量表示

第九节专题:三角形四心的向量表示

▍知识导学▍

1.三角形的重心

定义图形性质

1.三角形的重心到边的中点与到相应顶点

三角形的三条的距离之比为1∶2

中线交于一点,.重心和三角形个顶点组成的个三角

233

这点称为三角形面积相等

形的重心.重心到三角形个顶点距离的平方和最

33

小

三重心的向量式表示

角

OABC

设是的重心,为平面内任意一点

P

形

①或

重OAOBOC0AOBOCO0

心1

②AO(ABAC)

3

1

③PO(PAPBPC)

3



④若或,则一定经过三角形的重心

AP(ABAC)OPOA(ABAC),[0,)P



ABACABAC

⑤若AP或OPOA



|AB|sinB|AC|sinC|AB|sinB|AC|sinC

[0,),则一定经过三角形的重心

P

重心向量式证明:

证明①:

O(x,y),Ax,y,Bx,y,Cx,y

设112233.

xxx