北京市海淀区2024届高三数学一轮复习 三种语言下的向量运算 近6年北京高考题附表12.doc

附表1：三种语言下的向量运算

运算

图形语言

符号语言

坐标语言

线性运算

向量的加法和减法运算

记，

则

(1)交换律：a＋b＝a＋b

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

ab=a＋(b)

实数与向量的乘积

,

记

则,

向量共线的充要条件：

符号语言：若∥，≠，则=λ

坐标语言：设，，

则∥或

（1）结合律λ(μa)＝μλa

（2）分配律

(λ＋μ)a＝λa＋μa

λ(a＋b)＝λa＋λb

两个向量的数量积

·

其中为与的夹角

记，

则·

；

设，，

则；

向量垂直的充要条件：

符号语言：⊥


·
=0

坐标语言：设
，
，

则
⊥

（1）交换律a·b＝b·a

（2）结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)

（3）分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c

附表2：2009-2015历年北京卷有关平面向量的高考题

年份

北京卷高考题

解题思路

命题意图

2015

年

【理13】

在
中，点
，
满足

，

，

则
；
．

答案：

【解析】法一：特殊化为直角三角形，建系设点，代数运算

法二：平面向量基本定理，“斜交分解”

平面向量基本定理

【文6】设
，
是非零向量，

“
”
是“
”的（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

向量数量积的定义、向量平行（共线）概念和充要条件

2014

年

【理10】

已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝_．

【解析】∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，

∴|λ|＝
＝
＝
.

向量的定义，平面向量数乘运算的几何意义

向量坐标运算

【文】

已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝()

A．(5，7)B．(5，9)

C．(3，7)D．(3，9)

答案：A

【解析】2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．选A

2013

年

【文14】

已知点
，
，
．若平面区域
由所有满足

的点
组成，则
的面积为．

答案：3

规律总结：对系数
的意义的理解是解决本题的关键，由平行四边形法则不难得到区域D.

【解析】如图，延长线段AB至G，使AB=BG，分别过点B，点G作直线AC的平行线，过点C作直线AG的平行线，与上

述两条平行线交于E，F两点，由于
，所以点P只能在

两条平行线BE与GF之间的区域，由于
，所以点P只能在两条平行线CF与AG之间的区域，所以点P只能在平行四边形BGFE内（含边界），图中阴影区域即为区域D.易知平行四边形BGFE与平行四边形ABEC全等，所以其面积相等，是三角形ABC面积的两倍.计算可知，线段AC中点M坐标为
，所以
，所以
，所以平行四边形BGFE的面积为3.即
的面积为3.

向量加法的几何意义及平面向量基本定理.

转化为三角形的面积无疑是比较简单的.

计算量并不大.

能力要求才是这个题的目的.

【理13】向量
，
，
在正方形网格中的位置如图所示，若
，则
．

【解析】如图，选取向量a的终点为点A，向量b所在线段的中点为点B，以点B为起点作向量
，使得
，由图易知此时
，

又因为线段AB，BC，CA恰好围成三角形，所以

即
，

所以
，所以
.

答案：4

加减运算的几何意义及平面向量基本定理.

2012

年

【理13】

已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则
的值为________，
的最大值为______.

【解析】根据平面向量的数量积公式

，由图可知，
，因此

，

，而
就是向量
在
边上的射影，要想让
最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为
，所以长度为1．

【答案】1，1

向量的数量积运算

【文13】

已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则
的值为.

答案：1

向量在单位向量方向上的投影

2011

年

2010

年

【理10文11】

已知向量
，
，
.若
与
共线，则
________.

答案：1

【文（4）】

若
为非零向量，且“
”，
，则函数
是

（A）一次函数且是奇函数

（B）一次函数但不是奇函数

（C）二次函数且是偶函数

（D）二次函数但不是偶函数

解析：
与
共线，解得
．

答案：A

评析：本小题主要考查平面向量的概念、关系以及平面向量的坐标运算，主要考查学生对基本概念、基础知识的掌握和运算求解能力，属于基础题．

【理（6）】若
,
是非零向量，“
⊥
”是“函数
为一次函数”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

答案：B