旋转模型——费马点 压轴好题（解析版）-初中数学.pdf

旋转模型——费马点压轴好题（解析版）

1．（2023秋•萧山区期中）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时

针方向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）

A．10B．C．D．

【考点】旋转的性质；轴对称﹣最短路线问题．

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【分析】连接BF，过点B作BD⊥AF，与AF的延长线交于点D，由旋转可知∠PAE＝∠CAF＝60°，AP＝AE，

PC＝EF，AC＝AF＝6，于是可得△APE为等边三角形，进而得到AE+PB+PC＝PE+PB+EF≥BF，利用含30度

的直角三角形性质可得AD＝AB＝2，BD＝AD＝，最后利用勾股定理求出BF的长即可．

【解答】解：如图，连接BF，过点B作BD⊥AF，与AF的延长线交于点D，

则∠ADB＝90°，

∵将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，

∴∠PAE＝∠CAF＝60°，AP＝AE，PC＝EF，AC＝AF＝6，

∴△APE为等边三角形，

∴AE＝PE，

∴AE+PB+PC＝PE+PB+EF，

∵PB+PE+EF≥BF，

∴当点B、P、E在同一条直线上时，PB+PE+EF取得最小值为BF，即AE+PB+PC取得最小值为BF，

∵∠BAC＝60°＝∠CAE，

∴∠BAD＝60°，

∴∠ABD＝30°，

∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝，

∴DF＝AD+AF＝2+6＝8，

在Rt△BDF中，BF＝＝＝，

∴AE+PB+PC取得最小值为．

故选：B．

【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理，熟练

掌握旋转的性质是解题关键．

2．（2023秋•翠屏区校级月考）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人

们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB

＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离

为7+2．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；数学常识．

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【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解．

【解答】解：

如图：

∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，

∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，

∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，

∴△BPC∽△APB

∴＝，

2

即PB＝12

∴PB＝2．

∴PA+PB+PC＝7+2

故答案为：7+2．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质．

3．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝