《同步测控全优设计》2013-2014学年沪科版七年级数学下册讲解与例题：第7章7.2一元一次不等式.doc

7.2一元一次不等式

1．了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法．

2．了解解不等式的概念，会用不等式的性质解简单的不等式，并能用数轴表示解集．

3．运用一元一次不等式建立数学模型来解决实际问题，体会探索问题的过程，感知数学的应用价值．

1．一元一次不等式的概念

含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式．如不等式x－2≥4,2x＋1＜11，x－3＞2,0.2x＋4≤5都是一元一次不等式．

(1)一元一次不等式的一般形式：ax＋b＞(≥)0或ax＋b＜(≤)0.(a≠0)

(2)一元一次不等式的最简形式：ax＞(≥)0或ax＜(≤)0.(a≠0)

(3)一元一次不等式概念的理解：

①表示不等关系，即式子是不等式．

②不等号的左右两边都是整式．例如，eq\f(1,y)＜2，eq\f(1,x＋3)≥5就不是一元一次不等式．

③只含有一个未知数，即未知数的个数不能多．例如，2x＋y＞3不是一元一次不等式．

④未知数的最高次数是1.如x2＋x－2≤1不是一元一次不等式．

判断式子是否是一元一次不等式，上述四个条件缺一不可．

一元一次不等式与一元一次方程的异同

相同点：两者都只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，左边和右边都是整式．

不同点：一元一次不等式表示不等关系，用不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，用等号连接，等号没有方向．

【例1】下列不等式是一元一次不等式的是()．

A．2x(x－3)＞9B．x＋5y＜2

C．6x－3＞2D．eq\f(1,x)－3＞5

解析：A中的2x(x－3)应将括号展开，否则容易误认为x的指数为1，其最高次数为2，故不是一元一次不等式；B中含有两个未知数，故不是一元一次不等式；D中不等号左边不是整式，也不是一元一次不等式；只有C符合一元一次不等式的定义．故选C．

答案：C

2．不等式的解集

(1)一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集．求不等式解集的过程叫做解不等式．

例如，x＝3,4,5,6,7.5，…都是不等式x＋2≥5的解，可以用x≥3来表示，其中x≥3就是不等式x＋2≥5的解集．

(2)不等式的解集必须满足的条件：一是解集中的每一个数值都能使不等式成立，解集外的任何一个数值都不能使不等式成立；二是能够使不等式成立的所有数值都在解集中．

不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解集是由使不等式成立的所有未知数的值组成的，一个不等式的解集包括不等式的每一个解．即所有的解组成了解集，解集包括解．

(3)检验一个数是否为不等式的解与检验一个数是否为方程的解的方法相同，即将这个数代入不等式中，看不等式是否成立(其中方程是看等号两边是否相等，而不等式是看是否与不等号方向相同)．

【例2】下列说法正确的个数是()．

(1)5是不等式x＋2＞6的解；

(2)3是不等式y－1＞2的解；

(3)所有小于1的整数都是不等式x＋1＜2的解．

A．1B．2C．3D．0

解析：把x＝5代入(1)中不等式的左、右两边，这时x＋2＝7，而7＞6，即x＋2＞6成立，所以x＝5是不等式x＋2＞6的解，故说法(1)正确；把y＝3代入(2)中不等式的左、右两边，这时y－1＝2，即y－1＞2不成立，所以3不是不等式y－1＞2的解，故说法(2)不正确；因为所有小于1的整数都能使x＋1＜2成立，故说法(3)正确．因此选B．

答案：B

3．一元一次不等式的解集及其表示

(1)一元一次不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．类似地，使一元一次不等式成立的所有的解，组成了一元一次不等式的解集．

(2)解集的形式：

任意一个一元一次不等式最终都化简为ax＞b或ax＜b(a≠0)的形式，其解集可分为以下两种情形：①当a＞0时，ax＞b的解集为x＞eq\f(b,a)，ax＜b的解集为x＜eq\f(b,a)；

②当a＜0时，ax＞b的解集为x＜eq\f(b,a)，ax＜b解集为x＞eq\f(b,a).

(3)一元一次不等式的解集可以用数轴来表示．

不等式的解集在数轴上的表示方法有以下几种情况：

不等式的解集

用数轴表示

x＜a

x≤a

x＞a

x≥a

x＜a表示小于a的全体实数，在数轴上表示a左边的所有点，不包括a在内；x≤a表示小于或等于a的全体实数，在数轴上表示a左边的所有点，包括a在内；x＞a表示大于a的全体实数，在数轴上表示a右边的所有点，不包括a在内；x≥a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上表示a右边的所有点，包括a在内．

【例3】写出下列数轴上所表示的不等式的解集：

解：把数轴上的点所