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安徽师范大学2005数学分析考研试题

一．（30分）计算下列各小题：

x

1.设0x1,x11x,n1,2,,求limx与limn1.

1n1nnx

nn

n

x



2.设函数在上连续，F(x)(xt)f(t)dt(axb)，求.

f[a,b]F(x)

0

2

xzz

3.设zz(x,y)是由方程ln确定的（隐）函数，求.

zyxy

二．（15分）设函数yf(x)在区间I(l,l)（其中）上有连续的二阶导数，

l0

且f(0)0；定义

f(x)

,x0;

g(x)xxI







f(0),x0.





（1）求的导函数；

gg



（2）讨论g在点x0的连续性.

三.(25分)证明

x



（1）设函数yf(x)在[a,b]上可积，则(x)f(t)dt在[a,b]上一致连续.

a

（2）设yf(x)在[a,b]上可积，且对任意的x[a,b]有f(x)0，则存在唯一的

cb



点c(a,b)使得：f(x)dxf(x)dx.

ac

2

x

四．（15分）证明：函数项级数在(,)上收敛，但非一致收敛