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初升高衔接一一十字相乘法分解因式

因式分解是高中数学常用的变形方式，它能把一个多项式化为几

个整式的积。在以下几个方面应用广泛：

1、求解一元二次方程，一元二次不等式常用因式分解

2、用定义法证明函数单调性，变形时常用因式分解

3、此较大小和不等式证明中，作差后常用因式分解判定符号

4、函数求导后因式分解判定符号

5、初中数学解决一元二次多项式因式分解局限于二次项系数为1，

而高中数学常常是二次项系数不是1，且含有多个字母。

6、因式分解方法很多，这节专讲“十字相乘法。

“十字相乘法分解因式，方法是“拆两头凑中间，横写加法，因

式相乘”。

题型一、二次项系数为1的二次三项式

X^2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)

例：

题型二、二次项系数≠1的二次三项式因式分解。

思路探寻：以二次项系数是正数为例(如果二次项系数是负教，可

以提一个负号变为正数)，二次项分解为两个正因数的积，常数项是正

数时，分解为两个同号因数的积，符号与一次项系数符号相同;如果是

负数，分解为两个异号因数的积，绝对值较大的数的符号与一次项系

数符号相同。

题型三、含有两个字母的二次三项式的因式分解

思路探寻：把其中任意一个字母当作“主”元，另一个当作一个

数，然后写成“主元降幂排列的二次三项式。

分解方法仍然是“拆两头，凑中间。横写加法，因式相乘。只是

记住写上字母。

题型四、“双十字相乘法”

“双十字相乘法”指用此法两次。方法一、①前三项结合分解成

两个因式的积;②把这两个因式当作两个数，再用十字相乘法。因为有

两个字母，所以凑中间时一定要检验每一个字母的系数是否相同。

方法二、把其中一个字母当做“主元”，然后按“主元”降幂排

排列写成二次三项式，这时常数项是另外一个字母的二次三项式。先

对常数项用十字相乘法分解，把分解后的两个因式当作两个数再次用

“十字相乘法”分解。

题型五、转化为用“十字相乘法”分解的形式。

①分解因式ab+b^2+a一b一2

=b^2+(a一1)b+(a一2)

思路探寻：转化为关于b的二次三项式，再用“十字相乘法分解。

②分解因式(X一y)(2X一2y一3)一2

=(X一y)[2(X一y)一3]一2

=2(Ⅹ一y)^2一3(X一y)一2

思路探寻：把(Ⅹ一y)作为一个整体化成关于(X一y)的二次三项式，

再用“十字相乘法进行分解。