山东省冠县武训高级中学2024高二数学 21 第1课时 正 弦 定 理复习导学案 新人教A版.doc

山东省冠县武训高级中学2024高二数学21第1课时正弦定理复习导学案新人教A版

本章概述

●课程目标

1双基目标

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

（2）能够运用正弦定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量学力学运动学以及几何计算等有关的实际问题

2情感目标

（1）通过对任意三角形边角关系的研究，培养学生的归纳猜想论证能力及分析问题和解决问题的能力

（2）通过解决一些实际问题，培养同学们的数学应用意识，激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活

（3）正弦定理余弦定理的探索和验证使用计算器进行近似计算等一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养同学们的探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣

●重点难点

重点：运用正弦定理余弦定理探求任意三角形的边角关系，运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题

难点：正余弦定理的推导以及运用正余弦定理解决实际问题

●方法探究

1注重知识形成的过程，通过从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，引导我们从猜想验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习习惯

2注重数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力

3学习本章应注意的问题

（1）重视数学思想方法的运用解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用

（2）加强新旧知识的联系本章知识与初中学习的三角形的边角关系有密切联系同时要注意与三角函数平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力

（3）提高数学建模能力利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型

§1正弦定理与余弦定理

第1课时正弦定理

知能目标解读

1通过对特殊三角形边长和角度关系的研究，发现正弦定理，并初步学会这种由特殊到一般的思想方法来发现数学中的规律

2掌握用向量法证明正弦定理的方法，并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题

3学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题

重点难点点拨

重点：正弦定理的证明及利用正弦定理解题

难点：已知三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况

学习方法指导

一正弦定理

1正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式结合正弦函数在区间上的单调性知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系

2正弦定理的证明

正弦定理的证明，教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明除此之外，还可以运用向量法和三角函数定义法给予证明

方法一：建立直角坐标系，借助三角函数的定义进行证明

在如图所示的直角坐标系中，点B,C的坐标分别是

B（ccosA,csinA）,C(b,0)于是S△ABC=bcsinA同理S△ABC还可以表示成absinC和acsinB

从而可得==

方法二：如图所示：当△ABC为锐角三角形时，设边AB上的高为CD，根据三角函数的定义，有CD=bsinA,CD=asinB,



所以bsinA=asinB,即＝;

同理可得=

所以＝＝

如下图所示，当△ABC为钝角三角形时，设A为钝角，AB边上的高为CD，

则CD=asinB,CD=bsin(180°A)=bsinA

所以asinB=bsinA,

即＝;

同理＝

所以＝＝

当△ABC为直角三角形时，上式也成立

方法三:如下图所示：过A作单位向量j垂直于由+=，

两边同乘以单位向量j,得j·（+）=ｊ·

则j·+j·=j·

∴１j|||cos90°+|ｊ|||cos(90°C)=|j|||cos(90°A)

∴asinC=csinA

∴=

同理，过C作j垂直于，得=,

∴==

二利用正弦定理解三角形的类型

（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解

（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解一解或无解，在△ABC中，已知a,b和∠A时，解的情况如下：

∠A为锐角

∠A为钝角或直角

图形

关

系

式

①a=bsinA

２a≥b

bsinAab

absinA

ab

a≤b

解的个数

一解

两解

无解

一解

无解

三三角形常用面积公式

（1）S=aha（ha表示边a上的高）；

（2）S=absinC=bcsinA=acsinB；

(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径)

四应用正弦定理的解题规律

1正弦定理