山东省冠县武训高级中学2024高二数学 32 第2课时 一元二次不等式的应用复习导学案 新人教A版.doc

山东省冠县武训高级中学2024高二数学32第2课时一元二次不等式的应用复习导学案新人教A版

知能目标解读

1能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式

2利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题

3解决与一元二次不等式有关的恒成立问题

4解决相关实际应用问题

重点难点点拨

重点：1解简单的分式不等式与高次不等式

2解决与一元二次不等式有关的恒成立问题

难点：利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题

学习方法指导

解不等式的关键问题就是保证转化的等价性

（1）分式不等式一般先移项通分，然后利用0(或0)型转化为f(x)·g(x)0（或0），再求解对于≥0（或≤0），一定不能忽视去掉g(x)=0的情况

（2）含绝对值号的不等式，可分段去掉绝对值号讨论，也可采用两边平方法，应根据题目条件的特点选取方法

（3）高次不等式一般分解因式后用标根法求解，但要注意x的高次项系数为正

（4）不等式恒成立求字母取值范围问题：

在给定区间上不等式恒成立，一般地，有下面常用结论：

①f(x)a恒成立，f(x)maxa;

②f(x)a恒成立，f(x)mina

（5）关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题（a≠0条件下）:

①方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实根主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号

②方程ax2+bx+c=0有两正根

方程ax2+bx+c=0有一正一负两实根

③方程ax2+bx+c=0有零根c=0

④方程ax2+bx+c=0有两个大于n的根（解法类似于有两正根）

方程ax2+bx+c=0有两个小于k的根（解法类似于有两负根情形）

方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k（解法类似于一正一负根的情形）

则需

⑤方程ax2+bx+c=0两根都在（mn）内

则需

⑥方程ax2+bx+c=0一根在（mn）内，另一根在（np）内

则需

方程ax2+bx+c=0一根在（m,n）内，另一根在（p，q）内则需



思路方法技巧

命题方向分式不等式的解法

［例1］不等式1

［分析］解分式不等式一般首先要化为0（或0）的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用穿针引线法，借助于数轴得解

［解析］解法一：原不等式可化为0(2x23x+1)(3x27x+2)0

解得原不等式的解集为｛x|x或x1，或x2｝

解法二：原不等式移项，并因式分解得

0(2x1)(x1)(3x1)(x2)0,

在数轴上标出(2x1)(x1)(3x1)(x2)＝0的根，并画出示意图，如图所示

可得原不等式的解集为｛x|x或x1，或x2｝

［说明］解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再进行求解

变式应用1

解不等式：≤1



［解析］原不等式1≤0≤0

故原不等式的解集为｛x|2≤x1｝

命题方向高次不等式的解法

［例2］解下列不等式:

（1）(x+1)(1x)(x2)0;

(2)x32x2+30;

(3)x(x1)2(x+1)3(x+2)≥0

［分析］通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题，然后再依据相关性质解答

［解析］（1）原不等式等价于(x1)(x2)(x+1)0,令y=(x1)(x2)(x+1),当y=0时，各因式的根分别为1，2，1，如图所示

可得不等式的解集为｛x|x1或1x2｝

（2）原不等式可化为（x+1）(x23x+3)0,而对任意实数x，恒有x23x+30(∵Δ=（3）2120)

∴原不等式等价于x+10,

∴原不等式的解集为｛x|x1｝

(3)∵方程x(x1)2(x+1)3(x+2)=0的根依次为0，1，1，2，其中1为双重根，1为三重根，（即1为偶次根，1为奇次根），如图所示，由穿针引线法可得

∴不等式的解集为｛x|2≤x≤1，或x≥0｝

［说明］解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过，如上图

变式应用2

解不等式(x3)(x+2)(x1)2(x4)0

［解析］令(x3)(x+2)(x1)2(x4)=0，得

各因式的根分别为2,1,3,4

将各因式的根从小到大依次标在数轴上，如图



∴原不等式的解集是{x|2x1或1x3或x4}

命题方向不等式恒成立问题

［例3］函数f(x)=mx2mx6+m

(1)若对于m∈［2,2］，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围；

(2)若对于