重难点32 立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（解析版）.docxVIP

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重难点专题32立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1体积最值 1

题型2线线角最值取值范围 8

题型3线面角最值取范围 20

题型4面面角最值取值范围 32

题型5外接球问题 41

题型6外接球截面相关 50

题型7正方体截面相关 58

题型8代数式最值取值范围 70

题型9向量相关最值取值范围 81

题型1体积最值

【例题1】（2021·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设PD1，

A．92 B．52 C．3

【答案】C

【解析】通过建系如图，利用cosθ

【详解】解：建系如图，∵正方体的边长为3，则E(3，0，32)，D1

设P(x，y，0)(x?0，y?0)，则PE=(3-x，-y，32)，PD1

∵θ1=θ2

∴cosθ1

代入数据，得：32

整理得：x2

变形，得：(x-4)2

即动点P的轨迹为圆的一部分，

过点P作PF⊥BC，交BC于点F，则PF为三棱锥P-BB

∴点P到直线AD的距离的最大值是2．

则PF

∵SΔBB

【点睛】本题考查平面与圆柱面的截线，建立空间直角坐标系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

【变式1-1】1.（2021·全国·校联考二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5

A．4 B．32-1 C．4

【答案】A

【分析】此三棱锥中点D到平面MNC1的距离为定值125

【详解】如图，面MNC1就是平面ACC1A1，因此D点到面MNC1的距离为定值125，由题意ACC1A1是正方形，由对称性知当M（或N）与A重合时，C1到直线

故选A．

【点睛】最值问题求法很多，如用代数知识建立函数，用基本不等式，解不等式等是常用方法，有时也可利用共线求距离最短，通过运动轨迹求最值等．

【变式1-1】2.（2021·全国·高三专题练习）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长等于1，∠ABC=60°，O和O1分别是上下底面对角线的交点，H

【答案】3

【分析】因为C1到平面BB1D1D（即三棱锥底面O1MH）的距离为定值，所以当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥M-C1O

【详解】因为直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60°，边长为1，

∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=12,O1B1=3

∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=12

∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，

∴当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥C1

将平面BB1D1D单独画图可得，

当B点到O1H的距离最小时，△O1MH的面积有最小值．

过点B做BF//O1H，可得直线BF上方的点到O1H的距离比直线BF上的点到O1H的距离小，而线段BD上除B点外的所有点都在直线BF下方，到O1H的距离比B点到O1H的距离大．

即当M点在B点时，△O1MH的面积取得最小值，且三棱锥C1

连接O1B,则O1B=OB1=12+3

∴B1到O1B的距离d=BB1-O1

∵OH=3HB1，

∴H到直线O1B的距离为12d=21

∴SΔO1BH=12

∴VC1-O1BH=

故答案为348

【点睛】本题考查了四棱柱的结构特征和三棱锥的体积计算，动态动点的最值问题需要先确定点的位置，属于较难题．

【变式1-1】3.（2023春·广东·高三校联考阶段练习）设M，N，P分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD，C1D1，A1B1的中点，R为BD上一点，且R不与D重合，且

【答案】27

【分析】建立空间直角坐标系，先依据题给条件求得SV

【详解】设M，N，P，R所在球面球心为O，取MP中点I，连接OI，OP，OR

则I为△MNP外接圆圆心，OI⊥平面MNP，

以D为原点，分别以DA，DC，DD

则I(1,1,1)，P(2,1,2)

设O(1,t,1)，R(n,n,0),(0n≤2)

则由OP=OR可得，1+

整理得t=2

则S

令n-1=k，则-1k0或0k≤1

则SV=3π

令l(x)=

则l

当0x≤1时，l(x)0，

则当x=1时，l(x