山东省济宁市学而优教育咨询高中数学 322 三角恒等式的应用巩固练习 新人教A版必修4.doc

三角恒等变换（二）

1函数y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))是()

[答案]A

[解析]y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))

＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝sin2x，周期T＝eq\f(2π,2)＝π

2函数f(x)＝sinx＋cosx的最大值是()

Aeq\f(1,2)Beq\r(2)Ceq\f(\r(2),2)D2

[答案]B

[解析]∵f(x)＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，

∴当x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)时，取得最大值为eq\r(2)

3函数f(x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期是()

Aeq\f(π,4) Beq\f(π,2)

Cπ D2π

[答案]C

[解析]∵f(x)＝|sinx＋cosx|，

∴f(x)＝eq\r(2)|sin(x＋eq\f(π,4))|

∵f(x＋π)＝eq\r(2)|sin(x＋π＋eq\f(π,4))|＝f(x)，

∴f(x)的最小正周期为π

4化简eq\f(2sin2α,1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)的结果为()

Atanα Btan2α

C1 Deq\f(1,2)

[答案]B

[解析]原式＝eq\f(2sin2α,2cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)＝tan2α

5若sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，则cosα＝()

Aeq\f(2,3) Beq\f(1,3)

Ceq\f(1,3) Deq\f(2,3)

[答案]C

[解析]本题考查了余弦的二倍角公式因为sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，所以cosα＝12sin2eq\f(α,2)＝12(eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(1,3)

6函数f(x)＝sinxcosx的递增区间是________

[答案][2kπeq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(3,4)π](k∈Z)

[解析]∵f(x)＝sinxcosx＝eq\r(2)sin(xeq\f(π,4))，

∴2kπeq\f(π,2)≤xeq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，

即2kπeq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)

7已知函数f(x)＝eq\r(3)sinωxcosωxcos2ωx(ω0)的周期为eq\f(π,2)，则ω＝________

[答案]2

[解析]f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωxeq\f(1＋cos2ωx,2)

＝eq\f(\r(3),2)sin2ωxeq\f(1,2)cos2ωxeq\f(1,2)

＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx\f(π,6)))eq\f(1,2)，

则有eq\f(2π,2ω)＝eq\f(π,2)，∴ω＝2

8已知向量eq\o(OP,\s\up15(→))＝(2cosx＋1，cos2xsinx＋1)

eq\o(OQ,\s\up15(→))＝(cosx，1)，定义f(x)＝eq\o(OP,\s\up15(→))·eq\o(OQ,\s\up15(→))

(1)求f(x)的最小正周期

(2)求f(x)的最大值和最小值

[解析](1)∵f(x)＝eq\o(OP,\s\up15(→))·eq\o(OQ,\s\up15(→))

＝(2cosx＋1，cos2xsinx＋1)·(cosx，1)

＝2cos2x＋cosxcos2x＋sinx1

＝sinx＋cosx

＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，

∴函数f(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))的最小正周期为2π

(2)当x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z即

x＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z时，f(x)max＝eq\r(2)

当x＋eq\f(π,4)＝2kπeq\f(π,2)即x＝2kπeq\f(3π,4)，k∈Z时，

f(x)min＝eq\r(2)

9函数y＝eq\f(1,2)sin2x＋sin2x的值域是()

Aeq\b\