山东省高密市第三中学高三数学 52等差数列及其前n项和复习导学案.doc

山东省高密市第三中学高三数学52等差数列及其前n项和复习导学案

一知识梳理

1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示

2等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n1)d

3等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项

4等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(nm)d(n，m∈N＋)

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md

5等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)或Sn＝na1＋eq\f(n?n1?,2)d

6等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1\f(d,2)))n数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn，(AB为常数)

7等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值

典例分析：

题型一等差数列的基本运算

例1在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝3

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝35，求k的值

变式训练(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()

A12B13C14D15

(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝eq\f(1,2)，S4＝20，则S6等于 ()

A16B24C36D48

(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足eq\f(S3,3)eq\f(S2,2)＝1，则数列{an}的公差是()

Aeq\f(1,2)B1C2D3

题型二等差数列的性质及应用

例2(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()

A63B45C36D27

(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A13B12CD10

(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝2014，eq\f(S2014,2014)eq\f(S2008,2008)＝6，则S2013等于()A2013B2013C4026D4026

变式训练(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()

A14B21C28D35

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________

题型三等差数列的前n项和及其最值

例3(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；

(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n25，求数列{|an|}的前n项和

跟踪训练(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn若a1＝，a4＋a6＝6，则当Sn取最小值时，n等于 ()

A6B7C8D9

(2)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和若ak＋a4＝0，则k＝________

题型四等差数列的最值问题

例4(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝2，则当Sn取最大值时，n的值是 ()

A5B6C7D8

(2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝2，则前n项和Sn的最大值为________

(3)设数列{an}是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为 ()

A5B6C5或6D

课后提升A组

1(2024·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前项和S等于()

A58B88C143D176

2(2024·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm1＝2，Sm＝0，S