重难点32 立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（原卷版）.docxVIP

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重难点专题32立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1体积最值 1

题型2线线角最值取值范围 2

题型3线面角最值取范围 5

题型4面面角最值取值范围 8

题型5外接球问题 11

题型6外接球截面相关 12

题型7正方体截面相关 13

题型8代数式最值取值范围 16

题型9向量相关最值取值范围 18

题型1体积最值

【例题1】（2021·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设PD1，

A．92 B．52 C．3

【变式1-1】1.（2021·全国·校联考二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5

A．4 B．32-1 C．4

【变式1-1】2.（2021·全国·高三专题练习）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长等于1，∠ABC=60°，O和O1分别是上下底面对角线的交点，H

【变式1-1】3.（2023春·广东·高三校联考阶段练习）设M，N，P分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD，C1D1，A1B1的中点，R为BD上一点，且R不与D重合，且

【变式1-1】4.（2020·全国·高三竞赛）一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球.记圆锥的体积为V1，圆柱的体积为V2，且V1

【变式1-1】5.（2021·福建·统考一模）如图，在四棱锥E-ABCD中，EC⊥底面ABCD，FD//EC，底面ABCD为矩形，G为线段AB的中点，CG⊥DG，CD=2，DF=CE，BE与底面ABCD所成角为45°，则四棱锥E-ABCD与三棱锥F-CDG的公共部分的体积为．

题型2线线角最值取值范围

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,π

【例题2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，BC=BD=AC=AD=10，AB=6，CD=16，点P在平面ACD内，且BP=30，设异面直线BP与CD所成角为α，则sinα的最小值为(

A．31010 B．1010 C．

【变式2-1】1.（2022·全国·高三专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2，E为边AB的中点，沿DE将ΔADE折起，点A折至A1处（A1?平面ABCD），若M为线段A1

A．始终有MB//平面A

B．不存在某个位置，使得A1C⊥

C．三棱锥A1-ADE

D．一定存在某个位置，使得异面直线BM与A1E

【变式2-1】2.（2021·全国·高三专题练习）如图，已知等边三角形ABC中，AB=AC，O为BC的中点，动点P在线段OB上（不含端点），记∠APC=θ，现将ΔAPC沿AP折起至ΔAPC，记异面直线BC与

A．θα B．θα C．θ+απ2

【变式2-1】3.（2020·全国·高三专题练习）将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为

A．90° B．60° C．45° D．30°

【变式2-1】4.（2021·浙江·校联考二模）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1

A．AE//平面

B．四面体ACEF的体积为定值

C．三棱锥A-

D．异面直线AF、

【变式2-1】5.（2020·全国·高三专题练习）将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成的角为

A．π6 B．π4 C．π

【变式2-1】6.（2021·全国·统考一模）如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD与侧面PAD垂直，且四边形ABCD为正方形，AD=PD=PA，点E为边AB的中点，点F在边BP上，且BF=14BP，过C，E，F三点的截面与平面PAD的交线为l，则异面直线PB

A．π6 B．π4 C．π