中学数学中的重要不等式——的变形推广及应用浅析.pdfVIP

中学数学中的重要不等式——的变形推

广及应用浅析

摘要：是重要不等式中的一种，在形式上具有对称性，可以由它

推导出一些变式推广，这些变式推广对解决中学中的数学问题起到了很大的作用，

所以此不等式是中学学习的重点知识，也是研究者热衷研究的对象。本文将不等

式和初中竞赛和高中自主招生题相结合，为中学生解决这一类题提供思路和解题

方法。

关键词：变式；推广；应用；解题技巧

在初中，以为背景的命题主要是出现在初中竞赛和一些高中的自主

招生的题目里面，这些题目不像高中主要是考察学生是否理解知识的本质，而是

考察学生的思维，希望选出优秀的学生。所以在初中竞赛和自主招生题中，并不

是说用这个不等式就很方便的把题解出来了，通常需要将原式进行一系

列的变形和它的变式推广相结合。下面来看看例题：

例1：（2014年成都市实验外国语学校直升生考试试题）若a、b是两个正

数，且，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

分析：在做选择题时，我们可以通过已有经验大概猜下答案，已知的式子中

是对称的，也是对称的，所以我们知道当a=b时，可以取一个最值，这

时我们可以算出当时，有最值，并且是能够取到的，所以可以猜想

答案选D。再来看一般的做法这一题实际就是求最值的问题，已知了一个式子为

定值，求另外的代数式的最值时，首先想如何将已知的式子和联系起来，已

知的式子是分式，和我们知道的分式不等式形式不同，可以把它化成整式，再考

虑能不能用我们熟悉的及其变式。下面我们就按着这个思路来做这道题。

解：得：.

去括号整理可得：.

再由变式可得.

两边再同时除以，经整理可得，故答案选D。

2：（2015年全国初中数学联赛）若正数满足,求的

最小值。

分析：从形式上看a和2b是对称的，可以猜测当时取最值。在一

般思路这一题和上一题是类似的，关键是将联系起来。直接变形发现

很难联系起来，那可以考虑将里面的变元化为一个，或者通分再来看有没有什么

联系。

法一：（变元）

解：因为，所以，所以有

，设，由变式可知：

（当且仅当时取“=”）

，∴当时取最小值.

法二：（通分）

解：，所以，由不等式

得.所以.当时取等。（在这里我

们意识到当时取“=”所以对使用均值不等式）

这两个例题都是类似的，已知一个式子是定值，求另一个代数式的最值，一

般都是利用以及它的变式即可，但是难点并不是对变式的选择，而是如

何将已知和我们要求的代数式联系起来，这时候就得了解一些特殊的式子，例如

型。或者寻找取等的条件，再来选择适用的变式。也可以从已知从

及其变形的形式来看，例如若已知是定值，那我们可以考虑将要求的式子化成

与