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不等式的推广和应用

摘要：文章以不等式为研究对象，穿插了中学数学里许多方面的重要内容，归纳总结出了不

等式的建立方法、推广方向和各种应用中的解题思想和方法。中学生在了解不等式的相关知

识之后，也会对相应方面的数学知识有更加深入的认知，特别是中学数学里涉及到不等式的

解题方法。

关键词：中学数学;不等式;建立;推广;应用

前言不等式在中学数学中占有极重要的的低位，从最开始学习的均值不等式，

：

到后来的柯西不等式，从最开始的利用放缩法来解决比较问题，到后来的求极值

或者是最值问题，甚至是线性规划中的运用，都离不开不等式的妙用。而且，据

经验来看，掌握一些基本不等式的用法，在很多情形中就可以简化计算量。因此，

此次研究不等式的推广和简单应用，对中学生来说借鉴作用的。在本文中，我们

主要分为三个部分，在第一部分，我们主要是利用中学的知识，简介一些建立不

等式的方法，也会提一些中学中没有的但是又比较著名而且基本的一些不等式，

可以拓展一下中学生的眼界，增加对不等式的了解；在第二部分里，归纳总结出

了出了中学中常用的一些不等式的推广方法，并且对每种方法都详加阐述，用有

形的文字来传达无形但深刻的思想方法；在第三部分里，我们将介绍一些不等式

的应用，主要是中学里应用到不等式的一些题型，进一步的来了解不等式的作用。

为了使读者便于理解，在每一部分，都列举了一些例子，来进行具体的解说。总

而言之，这篇论文主要是利用中学的思想解决中学里的不等式的建立、推广和应

用问题,当然，笔者所述的目的是希望借此让中学生对不等式的建立、推广、应

用有种意识，这样碰到类似的问题的时候，潜意识里会更容易想到这些方法的。

一、建立不等式的基本方法

【1】建立不等式的方法主要有基本不等式、数学归纳法、抽屉原理法、几

何法、图论法、向量法、复数法、判别式发、凸性函数法、单调方法、中值定理

法、极值法、确界法和収缩法、方法、恒等式法等等，这些方法，读者基本上

可以从名字就可以有个了解，所以就不再一一赘述。这里就中学中常用的方法做

个简单的介绍。

1、基本不等式法

顾名思义，基本不等式法就是利用基本不等式来建立不等式。基本不等式包

括很多著名且基础的不等式，这里只介绍中学学过的或老师们常提起的不等式：

均值不等式（包括算术平均、几何平均和调和平均）、三角形不等式、柯西不等

式、伯努利不等式。

均值不等式：设a、b、c0,则有2ababab,等号当且仅当a=b时成等号成

ab2

立

三角不等式：对于任何实数x、y，有||x|-|y|||xy||x||y|.

柯西不等式：对任意正数a、b、c、d，有：(ab)(cd)acbd.

伯努利不等式：对于x≣-1的任何实数，当α1或α0时,有;

（1x）1x

当0α1时，有。

（1x）1x

由于基本不等式法应用太过广泛，在本文的后续内容中，涉及到的例题中，或多

或少都会有基本不等式的身影，所以笔者在这就不再给出具体的例子。

2、数学归纳法

数学归纳法是数学证明中常用的方法，主要有反向归纳法和普通归纳法。由

于中学数学中主要以普通归纳法为主，并未涉及到反向归纳法，所以对反向归纳

法只作简单的介绍。

普通归纳法：普通归纳法又有第一数学归纳法和第二数学归纳法之分，这个在中

学教材中都有详实的介绍。归根究底，这两种方法都是先确定一个起点，再进行

推理，所不同的是，前者是逐次递推，而后者是全局推导。

反向归纳法：设P（n）是一个与自然数n有关的一个命题，如果P（n）满足：

①对于无穷多个自然数n,P（n）都成立;

②假定P（k+1）成立，可推出P（k）也成立，那么可断言P（n）对于任意自然

数n都成立。

下面还是通过具体的例子来感受一下普通归纳法在不等式的证明中的应用。

例1：设x1,且x≠0,n是不小于1的整数,则（1x）1nxn.

证明:

当n=1,上个式子成立,

设对于n-1,有: