《经济数学基础》课件第3章.ppt

2.极值的求法

从图3-5中可以看出，可导函数在极值点的切线一定是水平方向的，但是有水平切线的点却不一定是极值点，如图中的x5点.

下面介绍极值存在的必要条件和充分条件.

定理3.7(极值存在的必要条件)如果函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f′(x0)=0.

由此可知，可导函数的极值点一定是驻点;反之，驻点不一定是极值点，如图3-5中的x5点.

对于一个连续函数而言，它的极值点也可能是导数不存在的点，如图3-5中的x4点.定理3.8(极值存在的第一充分条件)设函数f(x)在点x0的某一邻域内连续且可导(x0点可以不可导)，当x由左到右经过x0点时：

(1)若f′(x)由正变负，那么x0点是极大值点；

(2)若f′(x)由负变正，那么x0点是极小值点；

(3)若f′(x)不变号，那么x0点不是极值点.

由定理3.8可知，求函数极值点和极值的一般步骤如下：

(1)求出函数的定义域及导数f′(x).

(2)求出f(x)的全部驻点和导数不存在的点.

(3)用这些点将定义域划分为若干个子区间，列表考察各子区间内导数f′(x)的符号，用定理3.8确定该点是否为极值点.例3求函数f(x)=(x2－1)3+1的极值.

解(1)f(x)的定义域为(－∞，+∞)，f′(x)=6x(x2－1)2.

(2)令f′(x)=0，解得驻点x1=－1，x2=0，x3=1.

(3)用这些驻点将定义域划分为四个子区间，见表3-3.例4求函数f(x)=2－(x－1)2/3的极值.

解(1)f(x)的定义域为(－∞，+∞)，

(2)当x=1时，f′(x)不存在.

(3)显然，当x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.故有极大值f(1)=1.

定理3.9(极值存在的第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f′(x0)=0，f″(x0)≠0.

(1)若f″(x0)0，则函数f(x)在点x0处取得极大值；

(2)若f″(x0)0，则函数f(x)在点x0处取得极小值.例5求函数f(x)=x3－4x2+4的极值.

解(1)f(x)的定义域为(－∞，+∞)，f′(x)=3x2－8x=x(3x－8).

(2)令f′(x)=0，解得驻点x1=0，x2=(8/3).

(3)由于f″(x)=6x－8，所以有

f″(0)=－80，f″(8/3)=80

故函数有极小值f(8/3)=－(148/27)，极大值f(0)=4.3.3.3函数的最值

在工农业生产、工程技术和经济管理等活动中，经常会遇到这样一类问题：在一定的条件下，如何才能做到“用料最省”、“成本最低”、“利润最大”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上都可以归结为求函数的最大值、最小值问题.

由闭区间上连续函数的性质可知，闭区间[a，b]上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值.由极值和最值间的关系不难看出，函数在闭区间[a，b]上的最大值和最小值只能在开区间(a，b)内的极值点或区间的端点处取得.因此，闭区间[a，b]上函数的最大值和最小值可按如下方法求得：(1)求出函数f(x)在(a，b)内的所有可能极值点(驻点或不可导点).

(2)求出所有可能极值点的函数值以及端点的函数值f(a)和f(b).

(3)比较求出的所有函数值的大小，其中最大的就是函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值，最小的就是函数f(x)在闭区间[a，b]上的最小值.

例6求函数在[0，4]上的最大值和最小值.

解因为令f′(x)=0，解得驻点

x=1/16

由于f(1/16)=－(1/8)，而端点值

f(0)=0，f(4)=6

故函数f(x)在[0，4]上的最大值为f(4)=6，最小值为f(1/16)

=－(1/8).

在实际问题中，往往可以根据问题的性质就断定在定义域内一定有最大值或最小值.可以证明，如果函数在其定义域内存在着最大值或最小值，且只有一个可能极值点，那么，可以断定函数在该点一定取得相应的最大值或最小值.例7已知某个企业的生产成本函数为

C=q3－9q2+30q+25

其中:C为成本(单位：千元);q为产量(单位：吨).求平均可变成本y(单位：千元)的最小值.

解依题意，平均可变成本为

y=(C