人教选修第19讲抛物线的简单几何性质（2个知识点+1个要点+10种题型+2个易错点+过关检测）（原卷版）-A4.docx

第19讲抛物线的简单几何性质

（2个知识点+1个要点+10种题型+2个易错点+过关检测）

知识点1：抛物线的几何性质

标准方程

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

图形

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

对称轴

x轴

x轴

y轴

y轴

焦点坐标

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线方程

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

顶点坐标

O(0,0)

离心率

e＝1

注意点：

只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．

知识点2：直线与抛物线的位置关系

设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.

(1)若k≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点；

当Δ0时，直线与抛物线相离，没有公共点．

(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．

注意点：

(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．

(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．

要点：抛物线的焦点弦及通径问题

1.焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段，称为抛物线的焦点弦

2.通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦，称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p，是所有焦点弦中最短的弦.

3.有关抛物线焦点弦的结论

如图，已知AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AA‘，BB均垂直于准线，直线AB的倾斜角为θ.

则有：(1)AB=x1+x2+p=2psi

(2)x1x2=p24，y1y2=-p2，OA·OB=-34

(3)AF=p1-cosθ，BF=p

(4)1AF+1BF=

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)以AB为直径的圆与准线相切；

(7)A，O，B共线，A，O，B共线；

(8)∠AFB=90°；

(9)S△AOB=p2

(10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上.

4.圆锥曲线的统一定义

圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹.

当0e1时，它是椭圆；当e1时，它是双曲线；当e=1时，它是抛物线.

其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.

根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(-c，0)，F2(c，0)对应的准线方程分别为x=-a2c，x=

题型1：抛物线几何性质的应用

【例题1】（24-25高二上·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高二上·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（???）

??

A．1 B．2 C．4 D．8

【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与抛物线交于两点，若轴上存在点使得，则的面积为．

【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且，交于点，点的坐标为，

(1)求的值．

(2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积.

题型2：利用抛物线的性质求抛物线方程

【例题2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（????）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（????）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上，使得四边形为菱形且面积为．若，则抛物线方程为．

【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：上两点A，B且轴，，的面积为16，求抛物线C的方程．

题型3：直线与抛物线的位置关系