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基本不等式变形技巧的应用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，

关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，

现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

1

例1、求函数yx(x1)的值域。

x1

1

解：（1）当x1时，有x10,0，

x1

111

yx(x1)12(x1)13，

x1x1x1

1

当且仅当x1，即x＝2时，等号成立，此时y的最小值为3.

x1

11

（2）当x1时，x10,0，所以1x0,0，

x11x

1111

yx(x1)1[(1x)]12(1x)11，

x1x11x1x

1

当且仅当1x，即x＝0时，等号成立，此时y的最大值为－1，

1x

综上所述，该函数的值域为(,1][3,).

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

1

例2、已知0x，求函数y＝x（1－2x）的最大值。

2

1

解法一：因为0x，所以1－2x0，

2

112x(12x)1

所以yx(12x)2x(12x)[].2

2228

11

解法二：因为0x，所以x0，所以

22

1

x(x)

12111

yx(12x)2x(x)2[]2，当且仅当xx，即x时，

22824

11

等号成立，所以当x时，y的最大值为.

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