浙江省宁波市诺丁汉大学附中2024届高三4月综合测试数学试题理试题.doc

浙江省宁波市诺丁汉大学附中2024届高三4月综合测试数学试题理试题

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（）

A． B． C． D．

2．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．已知全集，集合，则=（）

A． B．

C． D．

4．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么()

A．国防大学，研究生 B．国防大学，博士

C．军事科学院，学士 D．国防科技大学，研究生

5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）

A． B． C．2 D．4

7．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（）

A． B．

C． D．

8．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（）

A． B． C． D．

9．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（）

A．1 B． C． D．0

10．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（）

A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点

C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点

11．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（）

A． B． C． D．

12．设，且，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，则展开式的系数为__________．

14．设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则______.

15．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______.

16．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．

（）求与平面所成角的正弦．

（）求二面角的余弦值．

18．（12分）我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.

（1）求和的值；

（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.

19．（12分）设，函数，其中为自然对数的底数.

（1）设函数.

①若，试判断函数与的图像在区间上是否有交点；

②求证：对任意的，直线都不是的切线；

（2）设函数，试判断函数是否存在极小值，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

20．（12分）已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．

（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；

（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；

（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．

21．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.

（1）求矩阵