2025年中考数学一轮复习圆的相关概念与性质（精讲）（解析版）.docxVIP

考点19.圆的相关概念与性质（精讲）

【命题趋势】

圆的相关概念及性质在中考数学中，小题通常考查圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在解答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在8-10分左右，属于中考中的中档考题。所以考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论。

【知识清单】

1．与圆有关的概念（☆）

1）圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。

2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。

3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，符号：；小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。

4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。

6）弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。

7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

8）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。

2：二圆的相关性质及推理（☆☆☆）

1）圆的对称性

（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。

（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。

2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。

3）推论

1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。

总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。

4）弧、弦、圆心角的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。

5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°。

6）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。

性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。

【易错点归纳】

1.求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。

2.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。

【核心考点】

核心考点1.圆的有关概念

例1：（2023·安徽安庆·九年级统考期末）下列说法中正确的是（?????）

A．直径是弦，半圆不是弧 B．相等的圆心角所对的弧也相等

C．周长相等的两个圆是等圆 D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴

【答案】C

【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆的基本性质，逐项判断，即可求解．

【详解】解：A、直径是弦，半圆是弧，故本选项错误，不符合题意；

B、同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧也相等，故本选项错误，不符合题意；

C、周长相等的两个圆是等圆，故本选项正确，符合题意；D、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误，不符合题意；故选：C

变式1．（2023·江苏宿迁·九年级校联考期中