四川省岳池县第一中学高中数学《§112 余弦定理》学案 新人教A版必修5.doc

§112余弦定理

学习目标

1掌握余弦定理的两种表示形式；

2证明余弦定理的向量方法；

3运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用

学习过程

一课前准备

复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==

复习2：在△ABC中，已知，A=45?，C=30?，解此三角形

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二新课导学

※探究新知

问题：在中，的长分别为

∵，

∴

同理可得：，

新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

，，

[理解定理]

（1）若C=，则，这时

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例

（2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角

试试：

（1）△ABC中，，，，求

（2）△ABC中，，，，求

※典型例题

例1在△ABC中，已知，，，求和

变式：在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________

例2在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角

变式：在ABC中，若，求角A

三总结提升

※学习小结

1余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2余弦定理的应用范围：

①已知三边，求三角；

②已知两边及它们的夹角，求第三边

知识拓展

在△ABC中，

若，则角是直角；

若，则角是钝角；

若，则角是锐角

学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）

A很好B较好C一般D较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1已知a＝，c＝2，B＝150°，则边b的长为（）

ABCD

2已知三角形的三边长分别为357，则最大角为（）

ABCD

3已知锐角三角形的边长分别为23x，则x的取值范围是（）

AB＜x＜5

C2＜x＜D＜x＜5

4在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则||＝________

5在△ABC中，已知三边abc满足

，则∠C等于

课后作业

1在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，求最大角的余弦值

2在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值