微积分 第二章习题2.7答案学习课件.docVIP

2.7函数的连续性与间断点

习题2.7

研究下列函数的连续性：

（1）

解：在上为，在上为，都是初等函数，所以连续。而，所以在处也连续。所以在上连续。

（2）

解：在上为，在上为，都是初等函数，所以连续。而，所以在处也连续。，所以在处间断。

求下列函数的间断点，并指出其类型：

（1）

解：易知在上连续。

，所以为第一类跳跃间断点。

（2）

解：易知在上连续。，所以为第二类无穷间断点。

（3）

解：易知在上连续。，而在处无定义，所以为第一类可去间断点。

（4）

解：易知在时都是连续的。。所以为第二类无穷间断点。

（5）

解：易知在上连续，没有间断点。

（6）

解：易知在上是连续的。

。所以为第一类跳跃间断点。

（7）

解：易知在上是连续的。。而在处无定义，所以为第一类可去间断点。

（8）

解：易知在上是连续的。当时无穷震荡，没有极限，所以为第二类震荡间断点。

（9）

解：易知在上是连续的。

，所以是第一类跳跃间断点。，所以是第二类间断点。

下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的的定义使其连续。

（1）

解：所以是第一类可去间断点，补充定义后可使其连续。所以是第二类无穷间断点，

（2）

解：，所以是第一类可去间断点，补充定义后可使其连续。时，所以是第二类无穷间断点。，所以是第一类可去间断点，补充定义后可使其连续。

（3）

解：当时无穷次震荡，没有极限，所以是第二类震荡间断点。

（4）

解：，所以是第一类跳跃间断点。

讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型。

解：显然它在上连续。，所以为第一类跳跃间断点。，所以为第一类跳跃间断点。

证明：若函数在点连续且，则存在的某一邻域，当时，

证明：由题意，，对于来说，存在，当时，，而，所以有，所以取就满足要求。

设

证明：（1）在连续；

（2）在非零的处都不连续。

证明：（1），取，则时，，所以在连续。

（2）设，取一串有理数列，则，再取一串无理数列，则。所以处函数无极限，所以在非零的处都不连续。

7.选择的值，使下列函数处处连续：

（1）

显然在上连续。

，所以选可使函数处处连续。

（2）

显然在上连续。

，所以选可使函数处处连续。

（3）

显然在上连续。

，所以选可使函数处处连续。