山东省冠县武训高级中学2024高二数学 12 第1课时 等差数列的概念及通项公式复习导学案 新人教A版.doc

山东省冠县武训高级中学2024高二数学12第1课时等差数列的概念及通项公式复习导学案新人教A版

第1课时等差数列的概念及通项公式

知能目标解读

1通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列

2探索并掌握等差数列的通项公式的求法

3体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题

4掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题

5能用等差数列的知识解决一些实际应用问题

重点难点点拨

重点：等差数列的概念

难点：等差数列的通项公式及其运用

学习方法指导

1等差数列的定义

（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：

①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列

②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列

③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序d=an+1an(n∈N+)或者d=anan1(n∈N+且n≥2)

（2）如何证明一个数列是等差数列?

要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1an是同

一个常数(或anan1(n1)是同一个常数)这里所说的常数是指一个与n无关的常数

注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1an=d(d为常数)若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1an或anan1(n1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可

2等差数列的通项公式

（1）通项公式的推导常用方法：

方法一（叠加法）：∵{an}是等差数列，

∴anan1=d,an1an2=d,

an2an3=d,…,

a3a2=d,a2a1=d

将以上各式相加得：ana1=(n1)d,

∴an=a1+(n1)d

方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，

∴an=an1+d=an2+d+d=an2+2d=an3+3d=…=a1+(n1)d

即an=a1+(n1)d

方法三（逐差法）：∵{an}是等差数列，则有

an=(anan1)+(an1an2)+(an2an3)+…+(a2a1)+a1=a1+(n1)d

注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用

（2）通项公式的变形公式

在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(nm)d推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有

am=a1+(m1)d①

an=a1+(n1)d②

由②①得anam=(nm)d,

∴an=am+(nm)d

注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n1)d变形整理可得an=dn+a1d，从函数角度来看，an=dn+(a1d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=(n≠m)

（3）通项公式的应用

①利用通项公式可以求出首项与公差;

②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;

③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数

3从函数角度研究等差数列的性质与图像

由an=f(n)=a1+(n1)d=dn+(a1d)，可知其图像是直线y=dx+(a1d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d

当d0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示

当d0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示

当d=0时，{an}为常数列，如图(丙)所示

4等差中项

如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，

那么A叫做数a与b的等差中项

注意:(1)等差中项A=a,A,b成等差数列；

(2)若a,b,c成等差数列，那么b=，2b=a+c,ba=cb,ab=bc都是等价的；

(3)用递推关系an+1=(an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项

知能自主梳理

1等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的是，我们称这样的数列为等差数列

2等差中项

如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做

3等差数列的判断方法

（1）要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当n≥2时，

（2）如果an+1=对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是

（3）若a,A,b成等差数列，则A＝

4等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为 ，它的推广通项公式为

5等差数列的单调性

当d0时，{an}是 数列；当d=0时，{an}是