山东省冠县武训高级中学2024高二数学 32 第1课时 一元二次不等式复习导学案 新人教A版.doc

山东省冠县武训高级中学2024高二数学32第1课时一元二次不等式复习导学案新人教A版

知能目标解读

1理解一元二次不等式与一元二次函数一元二次方程的关系，能借助二次函数的图像解一元二次不等式

2熟练掌握将一元二次不等式转化为一元一次不等式组

3对于含参数的一元二次不等式，能进行分类讨论求解

重点难点点拨

重点：一元二次不等式的解法

难点：一元二次不等式与一元二次函数一元二次方程的关系及对含参数的一元二次不等式的分类讨论

学习方法指导

1一元二次不等式与相应的二次函数，二次方程的联系

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次不等式ax2+bx+c0ax2+bx+c0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)有着密切联系，这种关系是用函数观点作指导，以函数图像来沟通的它们之间的关系具体如下：

Δ=b24ac

Δ0

Δ=0

Δ0

y=ax2+bx+c(a0)的图像

ax2+bx+c=0(a0)的根

有两个不相等的实根x1,x2且x1x2

有两个相等的实根x1,x2且x1=x2

没有实数根

ax2+bx+c0(a0)的解集

｛x|xx1或xx2｝

{x|x≠}

R

ax2+bx+c0(a0)的解集

｛x|x1xx2｝

2解一元二次不等式的一般步骤

（1）对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0

（2）计算相应的判别式

（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根

（4）根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集

注意：

（1）利用数形结合法解一元二次不等式在熟悉图像的前提下，关键是迅速求解对应的一元二次方程求解时优先考虑因式分解法，其次才是公式法

（2）特别地，若a0时，应先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式

（3）当判别式Δ=0时，不等式ax2+bx+c0(a0)与ax2+bx+c≥0(a0)的解集不同

3解含参数的一元二次不等式

含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，解这类不等式可以从分析两个根的大小及二次项系数的正负入手去解答，必要的时候应根据二次项系数的正负或两根的大小关系上分类讨论，对于每一种情况都要注意结合二次函数的图像写出不等式的解集

4解不等式应注意的问题

（1）解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的生疏的不等式问题转化为简单的熟悉的最简不等式问题不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根函数的性质和图像都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化（2）一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）进行的

（3）解不等式的过程中，经常要去分母去绝对值符号等，往往易忽略限制条件和变量取值范围的改变；对分步或分类求出的结果，何时求交集，何时求并集很容易失误

（4）解含参数的不等式时，注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论分类的标准是通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件）根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变参数值）按照解答的需要（例如进行不等式变形时，必须具备的变形条件）等方面来决定，一般都应做到不重复不遗漏

知能自主梳理

1一元二次不等式

含有未知数，且未知数的次数为不等式，叫做一元二次不等式

2一元二次不等式的解及其解集

一般地，使某个一元二次不等式成立的叫做这个不等式的解一元二次不等式的所有解组成的，叫做这个不等式的解集

［答案］1一个最高2的整式

2x的值集合

思路方法技巧

命题方向一元二次不等式的解法

［例1］解下列不等式：

（1）2x23x20；

（2）3x2+6x2

［分析］先求相应方程的根，然后根据相应函数的图像，观察得出不等式的解集

［解析］(1)方程2x23x2=0的两根为x1=,x2=2

函数y=2x23x2的图像是开口向上的抛物线，图像与x轴有两个交点为（，0）和（2，0），如图所示

观察图像可得原不等式的解集为{x｜x或x2}

（2）原不等式可化为3x26x+20，方程3x26x+2=0的两根为

x1=1,x2=1+,函数y=3x26x+2的图像是开口向上的抛物线，图像与x轴的两个交点为（1，0）和（1+，0），如图所示

观察图像可得原不等式的解集是{x|1x1+}

［说明］解一元二次不等式的步骤：整理二次不等式→计算对应方程的判别式→求相应方程的根→根据二次函数图像确定解集

变式应用1

解下列不等式：

（1）2x28x+8≤0;

(2)x2+6x9≤0

［解析］(1)原不等式可化为x24x+4≤